2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用课后课

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．设x，y为正数，则(x＋y)1x＋4y的最小值为()A．6B．9C．12D．15解析(x＋y)1x＋4y＝x·1x＋4xy＋yx＋y·4y＝1＋4＋4xy＋yx≥5＋24xy·yx＝9(当且仅当y＝2x时取等号)．2．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10解析由m2＋n2≥2mn得，mn≤m2＋n22＝50，等号在m＝n＝±52时成立．故选B．3．某工厂第一年产量为A，第二年产量的增长率为a,第三年产量的增长率为b，这两年产量的平均增长率为x，则()A．x＝a＋b2B．x≤a＋b2C．x＞a＋b2D．x≥a＋b2解析∵这两年产量的平均增长率为x，∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)．∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．由题设，知a＞0，b＞0.∴1＋x＝1＋a1＋b≤1＋a＋1＋b2＝1＋a＋b2，∴x≤a＋b2.等号在1＋a＝1＋b，即a＝b时成立．故选B．4．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p0，q0)的两个不同的零点，c0，ba，且a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pb2＋qa－2c的最小值等于()A．9B．10C．3D．10解析∵a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p0，q0)的两个不同的零点，即a，b是一元二次方程x2－px＋q＝0(p0，q0)的两个根，∴根据一元二次方程的根与系数的关系可得a＋b＝p，ab＝q，(a0，b0，a≠b)由题意可得ab＝c2，b＋c＝2a，消去c可得ab＝(2a－b)2＝4a2－4ab＋b2，即为(a－b)(4a－b)＝0，解得b＝4a(b＝a舍去)，则pb2＋qa－2c＝a＋bb2＋aba－2(2a－b)＝8a＋516a≥28a·516a＝10，当且仅当8a＝516a，即a＝1016时，取得等号．则所求的最小值为10.故选D．二、填空题5．已知2x＋3y＝2(x0，y0)，则xy的最小值是________．6解析∵2x＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy≥6.6．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．4解析∵a0，∴(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋xay≥1＋a＋2a≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴正实数a的最小值为4.7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则a＋1c＋c＋1a的最小值为________．4解析根据题意知a0，Δ＝4－4ac＝0，∴ac＝1，c0.∴a＋1c＋c＋1a＝ac＋1c＋ca＋1a＝ac＋ca＋1a＋1c≥2＋21ac＝2＋2＝4，当且仅当a＝c＝1时等号成立，∴a＋1c＋c＋1a的最小值为4.三、解答题8．设f(x)＝2x＋44x＋8.(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b恒有f(a)b2－3b＋214.解(1)因为f(x)＝2x＋44x＋8＝16·2x2x2＋8＝162x＋82x≤1622x·82x＝22，当且仅当2x＝82x，即x＝32时等号成立．所以f(x)的最大值为22.(2)证明：因为b2－3b＋214＝b－322＋3，所以当b＝32时，b2－3b＋214有最小值3.由(1)知，f(a)有最大值22，又223，所以对任意实数a，b恒有f(a)b2－3b＋214.9．一个直角三角形的周长为2p.(1)求其斜边长的最小值；(2)求其直角边长的和的最大值；(3)求其面积的最大值．解设直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c＝a2＋b2.由题意，得a＋b＋c＝2p.(1)由a＋b2≤a2＋b22＝c2，∴a＋b≤2c，∴2c＋c≥2p，c≥2p2＋1＝2p(2－1)．∴斜边长的最小值为2p(2－1)．(2)由a＋b2≤a2＋b22＝c2，c≥22(a＋b)，∴2p＝a＋b＋c≥a＋b＋22(a＋b)＝2＋22(a＋b)，∴a＋b≤4p2＋2＝(4－22)p，即两直角边长的和的最大值为(4－22)p.(3)∵a＋b＋c＝2p，即a＋b＋a2＋b2＝2p，∴2p≥2ab＋2ab＝(2＋2)·ab，ab≤(6－42)p2，12ab≤(3－22)p2，所以直角三角形面积的最大值为(3－22)p2.10．某商场预计全年分批购入每台2000元的电视机共3600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝3600x×400＋k(2000x)，依条件，当x＝400时，y＝43600，可得k＝5%，故有y＝1440000x＋100x≥21440000x·100x＝24000(元)．当且仅当1440000x＝100x，即x＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．B级：能力提升练1．已知a0，b0，且a＋b＝1，则1a2－11b2－1的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析∵a＋b＝1，a0，b0，∴ab≤14，在a＝b＝12时取等号．∴1a2－11b2－1＝1－a2a2·1－b2b2＝1＋aba2·1＋bab2＝1＋a1＋bab＝2＋abab＝2ab＋1≥214＋1＝9.故选D．2．已知abc，n∈N且1a－b＋1b－c≥na－c，求n的最大值．解∵abc，∴a－b0，b－c0，a－c0.∵1a－b＋1b－c≥na－c，∴n≤a－ca－b＋a－cb－c.∵a－c＝(a－b)＋(b－c)．∴n≤a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c.∴n≤b－ca－b＋a－bb－c＋2.∵b－ca－b＋a－bb－c＋≥2b－ca－b·a－bb－c＝2(2b＝a＋c时取等号)．∴n≤4.∴n的最大值是4.