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3.4基本不等式:第1课时基本不等式第三章不等式ab≤a+b2课前自主预习1.重要不等式对于任意实数a,b,有a2+b2ab,当且仅当时等号成立.2.基本不等式(1)对任意两个正实数a,b,a+b2叫做a,b的,ab叫做a,b的;□01≥□02a=b□03算术平均数□04几何平均数(2)形式:;(3)成立的前提条件:;(4)等号成立的条件:当且仅当时取等号.□05ab≤a+b2□06a,b是正数□07a=b1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)a+b2≥ab对于任意实数a,b都成立.()(2)若a0,b0,且a≠b,则a+b2ab.()(3)若a0,b0,则ab≤a+b22.()(4)若ab=2,则a+b的最小值为22.()√×√×2.做一做(1)不等式m2+1≥2m等号成立的条件是________.(2)若a0,b0,则a与b的等差中项________a与b的等比中项(填“不小于”或“不大于”).(3)ba+ab≥2成立的条件是______________.(4)(教材改编P100T1)函数f(x)=x+4x的值域是__________________________.m=1不小于a与b同号(-∞,-4]∪[4,+∞)课堂互动探究探究1基本不等式的理解例1给出下面四个推导过程:①因为a,b∈(0,+∞),所以ba+ab≥2ba·ab=2;②因为x,y∈(0,+∞),所以lgx+lgy≥2lgx·lgy;③因为a∈R,a≠0,所以4a+a≥24a·a=4;④因为x,y∈R,xy0,所以xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析从基本不等式成立的条件考虑.①因为a,b∈(0,+∞),所以ba,ab∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,y∈(0,1)时,lgy是负数,所以②的推导过程是错误的;③因为a∈R,a≠0不符合基本不等式的条件,所以4a+a≥24a·a=4是错误的;④由xy0得xy,yx均为负数,但在推导过程中将xy+yx看成一个整体提出负号后,-xy,-yx均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.拓展提升基本不等式a+b2≥ab(a0,b0)的两个关注点(1)不等式成立的条件:a,b都是正数.(2)“当且仅当”的含义:①当a=b时,a+b2≥ab的等号成立,即a=b⇒a+b2=ab;②仅当a=b时,a+b2≥ab的等号成立,即a+b2=ab⇒a=B.【跟踪训练1】下列命题中正确的是()A.当a,b∈R时,ab+ba≥2ab·ba=2B.当a>1,b>1时,lga+lgb≥2lga·lgbC.当a>4时,a+9a≥2a·9a=6D.∵x2+1≥2x,当且仅当x=1时,等号成立,∴(x2+1)min=2解析A项中,可能ba<0,所以不正确;C项中,a+9a≥2a·9a=6中的等号不成立,所以不正确;D项中,x与1的乘积不是定值,所以不正确;很明显,B项中,当a>1,b>1时,lga>0,lgb>0,则lga+lgb≥2lga·lgb成立,所以正确.探究2利用基本不等式比较大小例2(1)已知m=a+1a-2(a>2),n=22-b2(b≠0),则m、n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定(2)若a>b>1,P=lga·lgb,Q=12(lga+lgb),R=lga+b2,则P,Q,R的大小关系是________.P<Q<R解析(1)m=a+1a-2=a-2+1a-2+2≥2+2a-2·1a-2=4.当且仅当a=3时取等号,而n=22-b2<4,∴m>n.故选A.(2)∵a>b>1,∴a+b2>ab,即lga+b2>lgab=12(lga+lgb),∴R>Q.∵lga>0,lgb>0,∴12(lga+lgb)>lga·lgb,∴P<Q,故P<Q<R.拓展提升利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的条件,合理拆项或配凑.在拆项与配凑的过程中,首先要考虑基本不等式的使用条件,其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.【跟踪训练2】已知a、b、c都是非负实数,试比较a2+b2+b2+c2+c2+a2与2(a+b+c)的大小.解因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,所以a2+b2≥22(a+b),b2+c2≥22(b+c),c2+a2≥22(a+c),所以a2+b2+b2+c2+c2+a2≥22[(a+b)+(b+c)+(a+c)].即a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立.探究3利用基本不等式证明不等式例3设a,b,c都是正数且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.证明由题意,得1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc.又∵ba+ab≥2,ca+ac≥2,cb+bc≥2,当且仅当ba=ab,ca=ac,cb=bc,即a=b=c=13时,等号成立,∴1a+1b+1c≥3+2+2+2=9.拓展提升在对代数式进行变换时,并不是只能将代数式中的“元”消去,也可利用整体代换将某些“常数”消去.【跟踪训练3】已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:1a-11b-11c-1≥8.证明∵a+b+c=1,代入不等式的左端,∴1a-11b-11c-1=a+b+ca-1a+b+cb-1a+b+cc-1=ba+caab+cbac+bc=ac+bc+ba+ca+ab+cb+2=ba+ab+cb+bc+ca+ac+2.∵a,b,c∈(0,+∞),∴ab+ba≥2,cb+bc≥2,ca+ac≥2,∴ab+ba+cb+bc+ca+ac≥6,∴1a-11b-11c-1≥8,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.[规律小结]1.对公式a2+b2≥2ab及ab≤a+b2的理解两个公式成立的条件是不同的:前者只要求a,b是实数,而后者强调a,b必须是正数.2.由公式a2+b2≥2ab和ab≤a+b2可以引申出的常用结论(1)ba+ab≥2(a,b同号);(2)ba+ab≤-2(a,b异号);(3)21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a0,b0)或ab≤a+b22≤a2+b22a0,b0.3.基本不等式的两种解释(1)数列解释如果把a+b2看作是正数a、b的等差中项,ab看作是正数a、b的等比中项,则该定理可叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)几何解释以a+b长的线段为直径作圆,在直径AB上取点C,使AC=a,CB=B.过点C作垂直于直径AB的弦DD′,则CD=ab.因为圆的半径为a+b2,所以a+b2≥ab.其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立,则该定理又可叙述为:半径不小于半弦.[走出误区]易错点⊳忽视基本不等式应用的前提条件致误[典例]求函数y=1-2x-3x(x0)的最值.[错解档案]y=1-2x-3x=1-2x+3x.∵2x+3x≥22x·3x=26,∴y≤1-26,∴y的最大值为1-26.[误区警示]错解中没有注意到题目给出的x0这个条件,误用了基本不等式a+b2≥ab(a0,b0).[规范解答]∵x0,∴y=1-2x-3x=1+(-2x)+-3x≥1+2-2x·3-x,即y≥1+26(当且仅当-2x=3-x,即x=-62时,取“=”),∴y有最小值1+26.[名师点津]基本不等式“a+b2≥ab”成立的条件是a,b都是正数,在解题时如果a,b为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题.随堂达标自测1.设a>0,b>0,且a+b≤4,则有()A.1ab≥12B.1a+1b≥1C.ab≥2D.1a2+b2≤14解析∵4≥a+b≥2ab,∴ab≤2,∴1ab≥12,∴1a+1b≥2ab≥1.故选B.2.设a,b是正实数,A=a+b,B=a+b,则A,B的大小关系是()A.A≥BB.A≤BC.A>BD.A<B解析∵a>0,b>0,∴A>0,B>0,A2-B2=(a+b+2ab)-(a+b)=2ab>0,∴A2>B2,∴A>B.3.已知a,b∈R+,则下列不等式不一定成立的是()A.a+b+1ab≥22B.(a+b)1a+1b≥4C.a2+b2ab≥a+bD.2aba+b≥ab解析取a=14,b=1试验知D不成立.4.若a-b0,则(1)a+b0;(2)1a1b;(3)|a||b|;(4)ba+ab-2中,正确的有________个.3解析∵a-b0,∴a+b0,且a0,b0,|a||-b|,即|a||b|,∴1a1b,∴(1)对,(2)错,(3)对.对于(4),∵ba0,ab0,∴ba+ab=--ba+-ab≤-2.∵a-b,∴-ba≠-ab,∴ba+ab-2,故(4)对.5.已知ab,ab=1,求证:a2+b2≥22(a-b).证明∵ab,∴a-b0,又ab=1,∴a2+b2a-b=a2+b2+2ab-2aba-b=a-b2+2aba-b=a-b+2a-b≥2a-b·2a-b=22,即a2+b2a-b≥22,即a2+b2≥22(a-b),当且仅当a-b=2a-b,即a-b=2时取等号.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第1课时 基本不等式课件 新人教
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