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04课后课时精练A级:基础巩固练一、选择题1.已知P(x,y)为区域y2-x2≤0,0≤x≤a内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x-y的最大值是()A.6B.0C.2D.22解析画出不等式组y2-x2≤0,0≤x≤a所表示的平面区域如图所示,由图可知A(a,-a),B(a,a),由S△AOB=12×2a×a=4,得a=2.所以A(2,-2),由z=2x-y化简得y=2x-z,即当y=2x-z过A点时z取最大值,且zmax=2×2-(-2)=6.故选A.2.若x,y满足x-y≤0,x+y≤1,x≥0,则z=x+2y的最大值为()A.0B.1C.32D.2解析作出不等式组x-y≤0,x+y≤1,x≥0表示的平面区域,如图所示.当直线y=-12x+z2经过点B时,目标函数z达到最大值.∴z最大值=0+2×1=2.故选D.3.点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是()A.[0,5]B.[0,10]C.[5,10]D.[5,15]解析因x,y满足-14≤x-y≤7,则点P(x,y)在x-y≤7,x-y≥-14所确定的区域内,且原点也在这个区域内,如图所示.因为点P在直线4x+3y=0上,由4x+3y=0,x-y=-14,解得A(-6,8);由4x+3y=0,x-y=7,解得B(3,-4).∴点P到坐标原点距离的最小值为0.又|OA|=10,|BO|=5.因此,最大值为10,故所求取值范围是[0,10].4.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润如表所示:体积(升/件)重量(公斤/件)利润(元/件)甲20108乙102010在一次运输中,货物总体积不超过110升,总重量不超过100公斤,那么在合理的安排下,一次运输获得的最大利润为()A.65元B.62元C.60元D.56元解析设运送甲x件,乙y件,利润为z,则由题意得20x+10y≤110,10x+20y≤100,x,y∈N,即2x+y≤11,x+2y≤10,x,y∈N,且z=8x+10y,作出不等式组对应的平面区域(阴影部分内的整数点)如图:由z=8x+10y得y=-45x+z10,平移直线y=-45x+z10,由图象知当直线y=-45x+z10经过点B时,直线的截距最大,此时z最大,由2x+y=11,x+2y=10,得x=4,y=3,即B(4,3),此时z=8×4+10×3=32+30=62.故选B.二、填空题5.已知O为坐标原点,点M(3,2),若点N(x,y)满足不等式组x≥1,y≥0,x+y≤4,则OM→·ON→的最大值为________.12解析画出所给不等式组表示的平面区域如图所示.令z=OM→·ON→=3x+2y,由目标函数的几何意义可知当z=3x+2y过(4,0)点时,z取最大值,即OM→·ON→的最大值=3×4+0=12.6.若已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,2x-y-5≤0,x+y-4≥0,则z=|x+2y-4|的最大值是________.21解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.解法一:z=|x+2y-4|=|x+2y-4|5×5,其几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的5倍.由x-y+2=0,2x-y-5=0得点B的坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.解法二:由图可知,阴影区域(可行域)内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显然此时有x+2y-4>0,于是目标函数等价于z=x+2y-4,即转化为一般的线性规划问题.显然当直线经过点B时,目标函数z取得最大值,由x-y+2=0,2x-y-5=0得点B的坐标为(7,9),此时zmax=21.7.不等式组x-y+2≥0,x+y+2≥0,2x-y-2≤0所确定的平面区域记为D.若点(x,y)是区域D上的点,则2x+y的最大值是________;若圆O:x2+y2=r2上的所有点都在区域D内,则圆O面积的最大值是________.144π5解析作出区域D如图所示.令z=2x+y可知,直线z=2x+y经过点(4,6)时z最大,此时z=14;当圆O:x2+y2=r2和直线2x-y-2=0相切时半径最大,此时半径r=25,面积S=4π5.三、解答题8.已知实数x,y满足2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0,试求z=y+1x+1的最大值和最小值.解由于z=y+1x+1=y--1x--1,所以z的几何意义是点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率,因此,y+1x+1的最值就是点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率的最值,作出2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0表示的可行域如下图所示:结合图可知,直线MB的斜率最大,直线MC的斜率最小,即zmax=kMB=3,此时x=0,y=2;zmin=kMC=12,此时x=1,y=0.所以z的最大值为3,最小值为12.9.一农民有农田2亩,根据往年经验,若种水稻,则每亩产量为400千克;若种花生,则每亩产量为100千克.但水稻成本较高,每亩240元,而花生只需80元,且花生每千克5元,稻米每千克3元.现该农民手头有400元.(1)设该农民种x亩水稻,y亩花生,利润z元,请写出约束条件及目标函数;(2)问两种作物各种多少,才能获得最大收益?解(1)约束条件为:x+y≤2,240x+80y≤400,x≥0,y≥0,即x+y≤2,3x+y≤5,x≥0,y≥0,目标函数为:z=(3×400-240)x+(5×100-80)y=960x+420y.(2)作出可行域如图所示,把z=960x+420y变形为y=-167x+z420,得到斜率为-167,在y轴上的截距为z420,随z变化的一组平行直线;当直线y=-167x+z420经过可行域上的点B时,截距z420最大,即z最大.所以解方程组x+y=2,3x+y=5得x=1.5,y=0.5,即B点的坐标是(1.5,0.5),故当x=1.5,y=0.5时,zmax=960×1.5+420×0.5=1650(元).答:该农民种1.5亩水稻,0.5亩花生时,能获得最大利润,最大利润为1650元.10.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截成三种规格小钢板的块数如下表:每张钢板的面积,第一种1平方单位,第二种2平方单位,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得到所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小?解设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,所用钢板面积为z平方单位,则x+y≥12,2x+y≥15,x+3y≥27,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N,目标函数z=x+2y,作出一组平行线x+2y=z,作出不等式组表示的可行域.由x+3y=27,x+y=12解得x=92,y=152,点A92,152不是可行区域内整点,在可行区域内的整点中,点(4,8)和(6,7)使目标函数取最小值20.答:符合题意要求的钢板截法有两种,第一种截法是截第一种钢板4张,第二种钢板8张.第二种截法是截第一种钢板6张,第二种钢板7张,两种方法都最少要截两种钢板20平方单位.B级:能力提升练1.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的一个可能值为()A.-3B.3C.-1D.1解析当a=0时,z=x.仅在直线x=z过点A(1,1)时,z有最小值1,与题意不符;当a0时,y=-1ax+za.斜率k=-1a0,仅在直线z=x+ay过点A(1,1)时,直线在y轴的截距最小,此时z也最小,与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾;当a0时,y=-1ax+za,斜率k=-1a0,为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个,当且仅当斜率-1a=kAC.即-1a=13,得a=-3.2.已知实数x,y满足x-y+6x+y-6≥0,1≤x≤4,求x2+y2-2的取值范围.解作出可行域如图阴影部分所示,由x2+y2=(x-0)2+(y-0)2,可以看作区域内的点与原点的距离的平方,最小值为原点到直线x+y-6=0的距离的平方,即|OP|2,最大值为|OA|2,其中A(4,10),|OP|=|0+0-6|12+12=62=32,|OA|=42+102=116,∴(x2+y2-2)min=(32)2-2=18-2=16,(x2+y2-2)max=(116)2-2=116-2=114,∴16≤x2+y2-2≤114,即x2+y2-2的取值范围为[16,114].
本文标题:2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3
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