2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元质量测评课件 新人教A版选修2-1

第二章单元质量测评2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．31．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是()A.52B.32C.3D.5答案A解析由题意知，渐近线方程为kx±y＝0，所以k＝14，所以e＝52.答案解析42．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是()A.2m－1m－1B.－2－mmC.2mmD．－21－mm－1答案C答案5解析椭圆方程可化为x211＋m＋y21m＝1，由题意知m0，∵11＋m1m，∴a＝mm，∴椭圆的长轴长2a＝2mm.解析63．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1答案D答案7解析根据题意画出草图如图所示不妨设点A在渐近线y＝bax上.由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝bax上，∴ba＝tan60°＝3.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x2－y23＝1.故选D.解析84．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m1B．m≥1或0m1C．m≥1且m≠5D．0m5且m≠1答案C解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m≤1，解得m≥1.又m≠5，故选C.答案解析95．设椭圆C1的离心率为715，焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C2的标准方程为()A.x224－y225＝1B.x225－y224＝1C.x215－y27＝1D.x225＋y224＝1答案B答案10解析由题意知在椭圆C1中，ca＝715，2a＝30，∴a＝15，c＝7，曲线C2是双曲线，2a1＝10，c＝7，∴b2＝c2－a21＝72－52＝24，∴双曲线C2的标准方程为x225－y224＝1.解析116．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B．1C.32D．2答案D解析易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲线y＝kx(k0)得k＝2.答案解析127．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.2答案D答案13解析设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图所示，|AB|＝|BM|＝2a，∠MBA＝120°，过M作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|＝3a，所以M(2a，3a)．将点M的坐标代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1，得a＝b，所以e＝2.解析148．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()15A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1答案A答案16解析由题意可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA1⊥y轴于点A1，过B作BB1⊥y轴于点B1，则S△BCFS△ACF＝|BC||AC|＝|BB1||AA1|＝|BF|－1|AF|－1.解析179．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43答案D答案18解析因为A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，所以－p2＝－2，所以p＝4，所以y2＝8x.由于直线AB的斜率不为0.设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2，联立直线AB与抛物线的方程，得x＝ky－3－2，y2＝8x，消元得y2－8ky＋24k＋16＝0①，所以Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－12(舍去)．将k＝2代入①，解得y＝8，所以x＝8，所以B(8,8)．又F(2,0)，所以kBF＝8－08－2＝43.解析1910．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P(－1,2)，且与x轴交于M(m，0)，N(n,0)两点，则mn＝()A．3B．2C．－3D．－2答案C答案20解析解法一：抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，设直线AB的方程为x＝ty＋1，A，B坐标分别为y214，y1，y224，y2，由x＝ty＋1，y2＝4x得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝4t2＋2，所以x1＋x22＝2t2＋1，y1＋y22＝2t，则圆心D(2t2＋1,2t)．解析21由抛物线的性质可知：|AB|＝x1＋x2＋2＝4(t2＋1)，点P到圆心的距离d＝[2t2＋1－－1]2＋2t－22.由题意可知d＝12|AB|，解得t＝1，则圆心为(3,2)，半径为4.所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝42.当y＝0时，求得与x轴交点坐标，假设mn，则m＝3－23，n＝3＋23，所以mn＝－3.解析22解法二：设直线l的方程为x＝ty＋1，由y2＝4x，x＝ty＋1，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t.又以AB为直径的圆过点P(－1,2)，P点在准线上，故P为切点，故AB中点的纵坐标为2.因此y1＋y22＝2t＝2，即t＝1.所以直线l的方程为x＝y＋1，圆心为(3,2)，因此圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.令y＝0得x2－6x－3＝0，故mn＝－3.解析2311．已知|AB→|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP→＝13OA→＋23OB→，则动点P的轨迹方程是()A.x24＋y2＝1B．x2＋y24＝1C.x29＋y2＝1D．x2＋y29＝1答案A答案24解析设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝13(0，y0)＋23(x0,0)，即x＝23x0，y＝13y0，所以x0＝32x，y0＝3y.因为|AB→|＝3，所以x20＋y20＝9，即32x2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是x24＋y2＝1.解析2512．设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB→＝－3AF→，则双曲线C的离心率e等于()A.103B.52C.5D.343答案D答案26解析设F(c,0)，则过双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，而渐近线方程是y＝±bax，由y＝c－x，y＝－bax得Baca－b，－bca－b，由y＝c－x，y＝bax得Aaca＋b，bca＋b，解析27AB→＝2abca2－b2，－2abca2－b2，AF→＝bca＋b，－bca＋b，由AB→＝－3AF→，得2abca2－b2，－2abca2－b2＝－3bca＋b，－bca＋b，则2abca2－b2＝－3·bca＋b，即b＝53a，则c＝a2＋b2＝343a，则e＝ca＝343.解析28第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案9解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.答案解析2914．设F1，F2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2||PF1|的值为________．答案513解析因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2与x轴垂直，且点P的坐标为2，±53，所以|PF2|＝53，则|PF1|＝2a－|PF2|＝133，|PF2||PF1|＝513.答案解析3015．过双曲线x216－y29＝1的一个焦点F作弦AB，则1|AF|＋1|BF|＝________.答案89解析采用特例法即可求得．不妨设焦点F为右焦点，则F(5,0)．当AB⊥x轴时，A5，94，B5，－94，所以|AF|＝|BF|＝94，故1|AF|＋1|BF|＝89.答案解析3116．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被点b2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．答案22解析由题意，得b2＋cc－b2＝3⇒b2＋c＝3c－32b⇒b＝c，因此e＝ca＝c2a2＝c2b2＋c2＝12＝22.答案解析32三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设双曲线C：x2a2－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率e的取值范围．33解由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，知方程组x2a2－y2＝1，x＋y＝1有两个不同的实数解．消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.所以1－a2≠0，4a4＋8a21－a20.解得0＜a＜2且a≠1.答案34所以双曲线的离心率e＝1＋a2a＝1a2＋1.因为0＜a＜2且a≠1，所以e＞62且e≠2.故离心率e的取值范围为62，2∪(2，＋∞)．答案3518．(本小题满分12分)平面内与两定点A1(－a,0)，A2(a，0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系．36解设动点为M，其坐标为(x，y)．当x≠±a时，由条件可得kMA1·kMA2＝yx＋a·yx－a＝y2x2－a2＝m，即mx2－y2＝ma2(x≠±a)．又A1(－a,0)，A2(a,0)的坐标满足mx2－y2＝ma2，故依题意，曲线C的方程为mx2－y2＝ma2.答案37当m－1时，曲线C的方程为x2a2＋y2－ma2＝1，C是焦点在y轴上的椭圆；当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝a2，C是圆心在原点的圆；当－1m0时，曲线C的方程为x2a2＋y2－ma2＝1，C是焦点在x轴上的椭圆；当m0时，曲线C的方程为x2a2－y2ma2＝1，C是焦点在x轴上的双曲线．答案3819．(本小题满分12分)已知向量m1＝(0，x)，n1＝(1,1)，m2＝(x,0)，n2＝(y2,1)(其中x，y是实数)，又设向量m＝m1＋2n2，n＝m2－2n1，且m∥n，点P(x，y)的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当|MN|＝423时，求直线l的方程．39解(1)由已知，得m＝(0，x)＋(2y2，2)＝(2y2，x＋2)，n＝(x,0)－(2，2)＝(x－2，－2)．因为m∥n，所以2y2