2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A

第二章圆锥曲线与方程2．3抛物线2．3.1抛物线及其标准方程第二章圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养抛物线的定义理解并掌握抛物线的定义，并会应用其解决相关问题数学抽象、直观想象抛物线的标准方程理解并掌握抛物线的标准方程，掌握求抛物线标准方程的方法直观想象、数学运算抛物线的实际应用会利用抛物线方程解决相应的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P56～P59，并思考下列问题：1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？2．抛物线y2＝2px(p0)的焦点、准线分别是什么？3．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹．(2)焦点：______叫做抛物线的焦点．(3)准线：________叫做抛物线的准线．相等点F直线l■名师点拨(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．例如，到点F(0，1)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y＋1＝0，轨迹是一条直线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程____________________________________________________________y2＝2px(p＞0)p2，0x＝－p2y2＝－2px(p＞0)－p2，0x＝p2图形标准方程焦点坐标准线方程__________________________________________________________x2＝2py(p＞0)0，p2y＝－p2x2＝－2py(p＞0)0，－p2y＝p2■名师点拨将四种不同位置的抛物线的标准方程进行对比，分析可得它们的异同点：(1)共同点：①原点都在抛物线上；②焦点都在坐标轴上；③准线与焦点所在的坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，且到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即|2p4|＝p2.(2)不同点：①当焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；当焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．()(2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数．()(3)方程x2＝2ay(a≠0)是表示开口向上的抛物线．()×××抛物线x2＝4y的准线方程是()A．x＝1B．x＝－1C．y＝1D．y＝－1答案：D设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x答案：B以F0，－34为焦点的抛物线的标准方程是________．答案：x2＝－3y已知动点P到定点(2，0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．答案：y2＝8x求抛物线的标准方程试求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.【解】(1)因为点(－3，2)在第二象限，所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p0)或x2＝2py(p0)，把点(－3，2)的坐标分别代入y2＝－2px(p0)和x2＝2py(p0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p·2，即2p＝43或2p＝92.所以所求抛物线的标准方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，p2＝4，即2p＝16，此时抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，p2＝2，即2p＝8，此时抛物线方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤[注意]当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，p＝2，准线方程为x＝－p2＝－1.答案：2x＝－1抛物线定义的应用(1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．【解】(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x.(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，点P、点(0，2)和抛物线的焦点F12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝0－122＋（2－0）2＝172.1．(变条件)若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值．解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±6.所以点A在抛物线内部．设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－12的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是72.即|PA|＋|PF|的最小值是72.2．(变条件)若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l1：3x－4y＋72＝0，求点P到直线3x－4y＋72＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋72＝0的距离d＝3×12＋7232＋（－4）2＝1.即所求最小值为1.抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A．34B．1C．54D．74解析：选C．根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为12(|AF|＋|BF|)－14＝32－14＝54.2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A．3B．5C．2D．5－1解析：选D．由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋（－1）2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.抛物线的实际应用某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直线或设法通过该桥孔？为什么？【解】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p0)，则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)，而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1050吨，而船最多还能装1000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求解抛物线实际应用题的五个步骤如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26米．答案：261．抛物线y＝－14x2的准线方程为()A．x＝116B．x＝1C．y＝1D．y＝2解析：选C．抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12解析：选B．由抛物线的方程得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点(－5，m)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是()A．y2＝－2xB．y2＝－4xC．y2＝2xD．y2＝－4x或y2＝－36x解析：选B．由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p0)，则5＋p2＝6，得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝－4x.选B．4．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是6；(2)焦点在y轴上，且抛物线上一点P(m，1)到焦点F的距离为6.解：(1)由焦点到准线的距离为6，知p＝6.又焦点在x轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为y2＝－12x.(2)点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故1－－p2＝6，解得p＝10，所以抛物线的标准方程为x2＝20y.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放