2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.2 直线与椭圆的位置关系课件 新

第二课时直线与椭圆的位置关系【课标要求】1.理解直线与椭圆的位置关系.2.掌握直线与椭圆位置关系的判断方法.3.会用代数方法解决椭圆的弦长问题、中点弦问题.自主学习基础认识|新知预习|1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.＝2．直线与椭圆的位置关系设直线方程为y＝kx＋m，与椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)联立，消去y得关于x的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．(1)⇔直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交．(2)⇔直线与椭圆有一个公共点⇔直线与椭圆相切．(3)⇔直线与椭圆无公共点⇔直线与椭圆相离．Δ0Δ＝0Δ03．椭圆的弦长设直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.|自我尝试|1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)点(1,1)在椭圆x22＋y2＝1内()(2)直线y＝x＋1与椭圆x24＋y2＝1有2个交点．()答案：(1)×(2)√2．直线y＝x＋1与椭圆x25＋y24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断解析：方法一直线过点(0,1)，而0＋141，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．方法二联立直线与椭圆的方程得y＝x＋1，x25＋y24＝1，消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)0，所以直线与椭圆相交．答案：A3．若直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A．－54k54B．k＝54或k＝－54C．k54或k－54D．k54且k≠－54解析：由kx－y＋3＝0，x216＋y24＝1可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝(24k)2－4×(4k2＋1)×20＝16(16k2－5)0，即k54或k－54时，直线与椭圆有两个公共点．答案：C4．已知椭圆x225＋y216＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：在椭圆x225＋y216＝1中，a＝5，b＝4，所以|AB|＝2b2a＝2×425＝325.答案：325课堂探究互动讲练类型一直线与椭圆的位置关系[例1]对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．【解析】由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y，得x24＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－5m5时，Δ0，直线与椭圆相交；当m＝－5或m＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m－5或m5时，Δ0，直线与椭圆相离.方法归纳判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ0⇔直线与椭圆相离.跟踪训练1设椭圆x29＋y216＝1与直线x＋y＝t有公共点，则实数t的取值范围是________．解析：由方程组x＋y＝t，x29＋y216＝1消去y，得16x2＋9(t－x)2＝144，即25x2－18tx＋9t2－144＝0.由Δ＝(－18t)2－4×25×(9t2－144)≥0，得t2≤25，所以－5≤t≤5.答案：[－5,5]类型二直线与椭圆相交弦长的求法[例2]已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求|AB|.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程可知，右焦点F(3，0)．因为直线斜率为1，所以可设直线方程为y＝x＋b.因为直线过点F(3，0)，所以0＝3＋b，所以b＝－3，所以直线方程为y＝x－3.(*)把(*)代入x24＋y2＝1并整理得5x2－83x＋8＝0，所以x1＋x2＝835，x1x2＝85.所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2·x1－x22＝2·x1＋x22－4x1x2＝85.方法归纳直线与椭圆相交有关弦的问题，主要思路是联立直线和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.跟踪训练2将本例中的“直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点F”改为“直线l过椭圆x24＋y28＝1的下焦点F”，其他条件不变，求|AB|.解析：令A，B坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝8，b2＝4，所以c＝a2－b2＝2，所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，所以直线l的方程为y＝x－2.将其代入x24＋y28＝1，化简整理得3x2－4x－4＝0，所以x1＋x2＝43，x1x2＝－43，所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2x1＋x22－4x1x2＝2432－4×－43＝823.类型三中点弦[例3]过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程．【解析】法一设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.又M为AB的中点，所以x1＋x22＝42k2－k4k2＋1＝2，解得k＝－12.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二设直线上椭圆两交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，x2116＋y214＝1x2216＋y224＝1作差得x21－x22＋4(y21－y22)＝0∴k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－x1＋x224·y1＋y22＝－24×1＝－12故所求直线方程为x＋2y－4＝0.方法归纳本题的这二种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，法一是设出方程，根据中点坐标求出k，法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”.跟踪训练3中心在原点，焦点坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为()A.x225＋2y275＝1B.2x275＋y225＝1C.x225＋y275＝1D.x275＋y225＝1解析：由题意，设椭圆方程为x2m＋y2m＋50＝1(m0)，与直线方程3x－y－2＝0联立得x2m＋y2m＋50＝1，3x－y－2＝0，消去y并整理得(10m＋50)x2－12mx－m2－46m＝0.由弦的中点的横坐标为12，可得12m10m＋50＝1，解得m＝25.所以椭圆方程为x225＋y275＝1.选C.答案：C类型四与椭圆有关的综合问题[例4]已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．【解析】(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m20.①将线段AB中点M2mbm2＋2，m2bm2＋2代入直线方程y＝mx＋12解得b＝－m2＋22m2.②由①②得m－63或m63.(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62，则|AB|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12，且O到直线AB的距离为d＝t2＋12t2＋1.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝12|AB|·d＝12－2t2－122＋2≤22，当且仅当t2＝12，即m＝±2时，等号成立．故△AOB面积的最大值为22.方法归纳解决与椭圆有关的最值问题的三种方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围.跟踪训练4已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为e＝32，A，B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且|OM→|＝52.(1)求椭圆的方程；(2)过(－1,0)的直线l与椭圆交于P，Q两点，求△POQ的面积的最大时直线l的方程．解析：(1)设椭圆的半焦距为c，则a2＝b2＋c2，a2＋b2＝5，ca＝32，解得a＝2，b＝1，c＝3，所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)设交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，则S＝32.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，联立椭圆方程x24＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0，两个根为x1，x2，x1＋x2＝－8k24k2＋1，x1·x2＝4k2－14k2＋1，则|PQ|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k243k2＋14k2＋1(k≠0)．又原点到直线l的距离d＝|k|1＋k2，所以S＝12|PQ|·d＝121＋k243k2＋14k2＋1·|k|1＋k2＝23k2＋1k24k2＋1(k≠0)＝23k4＋k216k4＋8k2＋1＝2316－8k2＋31616k4＋8k2＋12·34＝32，所以当直线l的方程为x＝－1时，△POQ面积最大．|素养提升|1．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2y1－y22＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2(k为直线斜率)．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．2．解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，则x2a2＋y2b2＝1，2x0－x2a2＋2y0－y2b2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．|巩固提升|1．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA→＝3FB→，则|AF→|＝()A.2B．2C.3D．3解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．由FA→＝3FB→得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3