2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2.3 独立重复试验与二项分布课件 新

第二章随机变量及其分布2.2.3独立重复试验与二项分布第二章随机变量及其分布考点学习目标核心素养独立重复试验理解n次独立重复试验的概念；记住n次独立重复试验的概率公式数学抽象二项分布理解并熟记二项分布；能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题数学运算、数学建模问题导学预习教材P56～P57的内容，并思考下列问题：1．独立重复试验的意义是什么？2．二项分布的意义是什么？3．两点分布与二项分布之间有怎样的关系？1．n次独立重复试验一般地，在______条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．相同■名师点拨(1)独立重复试验的基本特征①每次试验是在相同条件下进行．②每次试验都只有两种结果：发生与不发生．③每次试验之间相互独立．④每次试验，某事件发生的概率都是一样的．(2)n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义2．二项分布前提在n次独立重复试验中字母的含义X事件A发生的次数p每次试验中事件A发生的概率分布列________________________________________结论随机变量X服从二项分布记法记作______________，并称p为__________P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，nX～B(n，p)成功概率■名师点拨(1)两点分布与二项分布的联系①两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果．②两点分布是n＝1时的二项分布．(2)二项分布与独立重复试验的关系二项分布是在独立重复试验中产生的，离开独立重复试验不存在二项分布．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．()(2)n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同．()(3)二项分布与超几何分布是同一种分布．()(4)两点分布是二项分布的特殊情形．()×××√设随机变量X～B6，12，则P(X＝3)等于()A．516B．316C．58D．38解析：选A．因为X～B6，12，所以P(X＝3)＝C361231－123＝516.将一枚质地均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P＝C461241－122＋C561251－121＋C661261－120＝1132.答案：1132甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．独立重复试验的概率【解】(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(A1—)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C22×(23)2＝49，P(B2)＝C12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝49×38＝16.1．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率？解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C12×23×13＝49，P(B3)＝38，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝49×38＝16.2．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率？解：记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C02(1－23)2＝19，P(B4)＝C22(34)2＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)＝19×916＝116.独立重复试验概率求法的三个步骤某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．解：(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．“恰有2次准确”的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.00672.所以所求概率为1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.(1)(2019·聊城高二检测)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥2)的值为()A．3281B．1127C．6581D．1681二项分布(2)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球4次的概率为C46234132；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．【解析】(1)因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝59，解得p＝13，所以η～B4，13，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－1－134－C141－13313＝1127.(2)①恰有一个白球的概率P＝C12C24C36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B6，23，所以P(X＝4)＝C46234132，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝35，故③错；④每次取到红球的概率P＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－1－233＝2627，故④正确．【答案】(1)B(2)①②④二项分布中需要注意的问题和关注点(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.(2)解决二项分布问题的两个关注点①对于公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．1．(2019·兰州高二检测)口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A．80243B．100243C．80729D．100729解析：选A．每次摸球中奖的概率为C14C15C29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复试验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率P＝C13×59×1－592＝80243.2．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是()A．125B．C25125C．C33123D．C25C35125解析：选B．质点P由原点移动到(2，3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点P移动5次后位于点(2，3)的概率即为质点P的5次移动中恰有2次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是12，所以向右移动的次数X～B5，12，所以所求的概率为P(X＝2)＝C25122123＝C25125.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．二项分布的综合应用【解】(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B3，15，则P(X＝0)＝C03×150×453＝64125，P(X＝1)＝C13×151×452＝48125，P(X＝2)＝C23×152×451＝12125，P(X＝3)＝C33×153×450＝1125.所以X的分布列为X0123P6412548125121251125(2)不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2，则P(Y＝0)＝C02C38C310＝715，P(Y＝1)＝C12C28C310＝715，P(Y＝2)＝C22C18C310＝115.所以Y的分布列为Y012P715715115利用二项分布解决实际应用问题的解题思路(1)根据题意设出随机变量．(2)分析出随机变量服从二项分布．(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)．(4)写出二项分布的分布列．[提醒]忽视二项分布的条件：(1)独立重复试验．(2)事件A发生的概率已知．(3)事件发生的次数为随机变量．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的交通岗数η的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：(1)由ξ～B5，13，则P(ξ＝k)＝Ck513k235－k，k＝0，1，2，3，4，5.故ξ的分布列为ξ012345P32243802438024340243102431243(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝23k·13，k＝0，1，2，3，4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝235.故η的分布列为η012345P13294278811624332243(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－235＝211243.1．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，12)，则P(ξ≤3)等于()A．1132B．732C．2132D．764解析：选C．P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C06×(12)6＋C16·(12)6＋C26·(12)6＋C36·(12)6＝2132.故选C．2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为()A．13B．25C．56D．34解析：选A．事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C04p0(1－p)4＝6581，所以1－p＝23，p＝13.3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是________．解析：由题意知C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4.答案：[0.4，1]4．某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：(1)3台都未报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警；(4)3台都报警；(5)至少有2台报警；(6)至少有1台报警．解：设X为发生险情时3台报警器中