2019-2020学年高中数学 第二章 数列章末总结课件 新人教A版必修5

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)1.数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.()×√2.an=12nn是数列1,3,6,10,…的一个通项公式.()×3.已知a1=0,an+1=an+(2n-1),则a5=14.()4.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为-3.()5.数列{an}与数列{|an|}的前n项和相等.()6.常数列既是等差数列也是等比数列.()7.已知等比数列的公比和某一项,能求任意项.()√8.数列1,x,x2,…,xn-1的前n项和为11nxx.()××√×题型探究·素养提升题型一等差(比)数列的基本运算[典例1]等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2.所以an=2×2n-1=2n.解:(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.设{bn}的公差为d,则有1128,432,bdbd解得116,12,bd所以bn=-16+12(n-1)=12n-28.所以数列{bn}的前n项和Sn=(161228)2nn=6n2-22n.(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.规律总结在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量:a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d(q),an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用.题型二数列的通项及求和[典例2](2019·哈尔滨高二检测)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足:4Sn=(an-1)·(an+3)(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;解:(1)因为4Sn=(an-1)(an+3)=2na+2an-3,所以当n≥2时,4Sn-1=21na+2an-1-3,两式相减得,4an=2na-21na+2an-2an-1,化简得,(an+an-1)(an-an-1-2)=0,由于{an}是正项数列,所以an+an-1≠0,所以an-an-1-2=0,即对任意n≥2,n∈N*都有an-an-1=2,又由4S1=21a+2a1-3得,21a-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1(舍去),所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,所以an=3+2(n-1)=2n+1.(2)若bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(2)由已知及(1)知,bn=(2n+1)·2n,Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,(ⅰ)2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,(ⅱ)(ⅱ)-(ⅰ)得,Tn=-3×21-2(22+23+24+…+2n)+(2n+1)·2n+1=-6-2×141212n+(2n+1)·2n+1=2+(2n-1)·2n+1.规律总结(1)由递推公式求数列通项公式时,一是要注意判别类型与方法.二是要注意an的完整表达式,易忽视n=1的情况.(2)数列求和时,根据数列通项公式特征选择求和法,尤其是涉及等比数列求和时要注意公比q对Sn的影响.解:(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,a2=a1(1+50%)-d=32a1-d=4500-52d.an+1=an(1+50%)-d=32an-d.题型三数列在实际生活中的应用[典例3]某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产,该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解:(2)由(1)得an=32an-1-d=23322nad-d=(32)2an-2-32d-d=…=(32)n-1a1-d[1+32+(32)2+…+(32)n-2].整理得an=(32)n-1(3000-d)-2d[(32)n-1-1]=(32)n-1(3000-3d)+2d.由题意,知am=4000,即(32)m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d=[()2]10003232()1mm=110003232mmmm.故该企业每年上缴资金d的值为110003232mmmm时,经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元.错解1:设公差为d,因为S10=S15,所以由等差数列前n项和公式得10×20+1092d=15×20+15142d,即d=-53,所以an=20-(n-1)×53,当an0时,20-(n-1)×530,所以n13,所以当n=12时,Sn最大,S12=12×20+12112×(-53)=130.题型四易错类型[典例4]在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.错解2:由a1=20,S10=S15,解得公差d=-53,所以52010,35200.3nn解得12≤n13.所以当n=12时,Sn有最大值S12=130.纠错:错解1中解an0是不正确的;事实上应解an≥0,an+1≤0.错解2中12≤n13,应指出a13=0,a120,故S13=S12.正解:由a1=20,S10=S15,解得公差d=-.因为S10=S15,所以S15-S10=0,即a11+a12+a13+a14+a15=0,又因为a11+a15=a12+a14=2a13,所以a13=0.因为公差d0,a10,所以a120,a140,故n=12或n=13时,Sn有最大值为S12=S13=130.53[典例5]设数列{an}的前n项和为Sn,且an≠0(n∈N*),S1,S2,…,Sn,…成等比数列,判断数列a2,a3,a4,…,an,…是否成等比数列,并证明你的结论.错解:设a1=a,则S1=a1=a.因为{Sn}成等比数列,设公比为q,则Sn=S1qn-1=aqn-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=aqn-2(q-1),an+1=Sn+1-Sn=aqn-aqn-1=aqn-1(q-1),所以1nnaa=1211nnaqqaqq=q(n≥2,n∈N*).故数列a2,a3,…,an,…成等比数列.正解:设a1=a,则S1=a1=a.因为{Sn}成等比数列,设公比为q,则Sn=S1qn-1=aqn-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=aqn-2(q-1),an+1=Sn+1-Sn=aqn-aqn-1=aqn-1(q-1).当q=1时,{Sn}为常数列,此时an=0,与题设条件an≠0矛盾,所以q≠1,所以1nnaa=1211nnaqqaqq=q(n≥2,n∈N*).故数列a2,a3,…,an,…成等比数列.纠错:忽略讨论q是否为1,而导致错误.1.(2018·全国Ⅰ卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于()(A)-12(B)-10(C)10(D)12真题体验B解析:设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3[3a1+3312×d]=2a1+2212×d+4a1+4412×d,将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.故选B.解析:法一设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a5=36,所以(a1+d)+(a1+4d)=36,所以2a1+5d=36.因为a1=3,所以d=6,所以通项公式为an=a1+(n-1)d=6n-3.法二设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a5=a1+a6=36,a1=3,所以a6=33,所以d=615aa=6.因为a1=3,所以通项公式为an=6n-3.答案:an=6n-32.(2018·北京卷)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为.解析:因为Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.所以数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以Sn=111naqq=11212n=1-2n,所以S6=1-26=-63.答案:-633.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=2an+1,则S6=.解:(1)由条件可得an+1=21nnan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.4.(2018·全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)求b1,b2,b3;nan(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解:(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得11nan=2nan,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得nan=2n-1,所以an=n·2n-1.