2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第4节 等比数列 第1课时 等比数列课件 新人教A版必

第1课时等比数列[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P48～P49，回答下列问题：(1)观察下面的各组数据①由细胞分裂问题，得到数列：1，2，4，8，…；②由“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，得到数列：1，12，14，18，…；③由计算机病毒的传播，得到数列：1，20，202，203，…；④由银行的一种计息方式“复利”，得到数列：10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985.这些数列有什么共同特点？提示：从第2项起，每一项与前一项的比都等于一个常数．(2)如果等比数列an的首项为a1，公比为q，则根据等比数列的定义可知a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，依次类推，你能用a1和q表示an吗？如何表示？提示：能．an＝a1qn－1．2．归纳总结，核心必记(1)等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±ab.(3)等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝．同一常数公比等比数列a1qn－1[问题思考](1)能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？(2)若数列an是等比数列，是否存在m，使am＝0成立？(3)当q＝1时，等比数列是常数列吗？反之，若一个数列是常数列，则它一定是公比为1的等比数列吗？(4)当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？提示：(1)不能；(2)不存在．等比数列中不存在为0的项；(3)当q＝1时，an是非零常数列；反之若一个数列是常数列，则它不一定是等比数列，如：0，0，0，….(4)不一定．如数列0，0，5不是等比数列．[课前反思]1．等比数列的定义是：；2．等比中项的定义是：；3．等比数列的通项公式是：．[思考1]若数列an是等比数列，易知有an＋1an＝q(q为常数，且q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列an是等比数列吗？名师指津：能．若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数，q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明an是等比数列．[思考2]若数列an是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列an是等比数列吗？名师指津：能．根据等比数列的定义可知．讲一讲1．已知数列an是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝12an，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式．[尝试解答]依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝123－n.而bnbn－1＝123－n124－n＝12－1＝2.∴数列bn是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q为常数且q≠0)或anan－1＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔an为等比数列．(2)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔an为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔an为等比数列．练一练1．已知数列an的前n项和Sn＝2－an，求证：数列an是等比数列．证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝12an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝12an知an≠0，∴an＋1an＝12.∴an是等比数列．2．数列an满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*，且n≥2)．(1)求a2，a3，并证明数列an－n是等比数列；(2)求数列an的通项公式．解：(1)∵a1＝－1，an＝3an－1－2n＋3，∴a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面证明an－n是等比数列：an＋1－（n＋1）an－n＝3an－2（n＋1）＋3－（n＋1）an－n＝3an－3nan－n＝3(n＝1，2，3，…)．又a1－1＝－2，∴an－n是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.[思考]要确定等比数列an的通项公式，需要确定哪些元素？名师指津：由于an＝a1·qn－1，故要确定等比数列an的通项公式，应确定首项a1和公比q.讲一讲2．在等比数列an中，(链接教材P51－例3)(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[尝试解答]设公比为q，(1)法一：因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8.②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝22n－53.(2)法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，③a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，④由④③得q＝12，从而a1＝32，又an＝1，所以32×12n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.等比数列通项公式的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．练一练3．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是()A．405B．－405C．135D．－135解析：选A∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝a2a1＝－3，∴a5＝405.(2)已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，则数列{an}的通项公式为________________．解析：设等比数列的公比为q，则q≠0，a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q.∴2q＋2q＝203，解得q＝13或q＝3.当q＝13时，a1＝18，∴an＝18×13n－1＝2×33－n；当q＝3时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.答案：an＝2×33－n或an＝2×3n－3(3)已知等比数列an为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求数列an的通项公式an.解：由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或12，由a25＝a10＝a1q9＞0⇒a1＞0，又数列an递增，所以q＝2.a25＝a10＞0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列an的通项公式为an＝2n.讲一讲3．等差数列an中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10等于多少？[尝试解答]由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a23＝a1a9.∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝13d16d＝1316.由等比中项的定义可知：Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．练一练4．已知：a，－32，b，－24332，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．解：由题意知b2＝－32×－24332＝326，∴b＝±278.当b＝278时，ab＝－322，解得a＝23.bc＝－243322＝－3210，解得c＝327.同理，当b＝－278时，a＝－23，c＝－327.综上所述，a，b，c的值分别为23，278，327或－23，－278，－327.——————[课堂归纳·感悟提升]—————1．本节课的重点是等比数列的判定与证明、等比数列的通项及等比中项问题，难点是等比数列的证明．2．本节课的易错点是等比中项的求法及应用．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab)，而不是一个(ab)，这是容易忽视的地方．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)等比数列的判断与证明的方法，见讲1.(2)等比数列通项公式的求法．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．见讲2.