2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的性质和

第2课时数列的性质和递推公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P29～P31，回答下列问题：(1)数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？提示：数列也可以用图象，列表等方法来表示．提示：数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表面在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1，2，3，…，n}；②数列中的项是对应序号1，2，3，…的一列函数值；③数列的图象是一些孤立的点，这些点的横从标从小到大依次是1，2，3，…．(2)与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识．2．归纳总结，核心必记(1)数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列．(2)数列的递推公式如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．函数值提示：①③④正确．数列可以用列表法表示，故②错误．[问题思考](1)数列是一种特殊的函数，你认为下列说法是否正确？①数列可以用图形来表示；②数列不能用列表法表示；③数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点；④数列的通项公式就是相应函数的解析式．(2)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，则a3，a4，a5为何值？提示：a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2.[课前反思]1．数列与函数的关系是：；2．数列的图象的特点：；3．数列的递推公式是：；4．数列的表示方法有哪4种：．[思考1]在数列{an}中，若an＋1－an0，则数列{an}是递增数列吗？若an＋1－an0，则数列{an}是递减数列吗？若an＋1－an＝0，则数列具备什么性质？名师指津：若an＋1－an0，则数列{an}是递增数列；若an＋1－an0，则数列{an}是递减数列；若an＋1－an＝0，则数列{an}是常数列．[思考2]你能给出判断一个数列单调性的一般方法吗？名师指津：数列的单调性一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，具体为：an＋1－an0⇔an＋1an⇔数列{an}单调递增；an＋1－an0⇔an＋1an⇔数列{an}单调递减．讲一讲1．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的增减性．[尝试解答](1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴2log2an－2－log2an＝－2n，即an－1an＝－2n，∴a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n2＋1.∵an0，∴an＝n2＋1－n，n∈N*.(2)an＋1an＝（n＋1）2＋1－（n＋1）n2＋1－n＝n2＋1＋n（n＋1）2＋1＋（n＋1）1.∵an0，∴an＋1an.∴数列{an}是递减数列．判断数列单调性的方法本题是函数、方程与数列的典型结合与运用，要判断数列{an}的增减性，只要比较an与an＋1的大小即可，可以用作差法或作商法．练一练1．判断下列数列的单调性：(1)在数列{an}中，an＝－2n＋3；(2)在数列{an}中，an＝n2＋2n－5.解：(1)∵an＝－2n＋3，∴an＋1－an＝－2(n＋1)＋3－(－2n＋3)＝－2n－2＋3＋2n－3＝－20.∴an＋1an.∴数列{an}是递减数列．(2)∵an＝n2＋2n－5，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.∵n∈N*，∴2n＋30，∴an＋1an.∴数列{an}是递增数列．讲一讲2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[尝试解答](1)由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2，3.∴数列中有两项是负数．(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴方程为n＝52＝2.5.又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n项最小，由an≤an＋1，an≤an－1，得n2－5n＋4≤（n＋1）2－5（n＋1）＋4，n2－5n＋4≤（n－1）2－5（n－1）＋4.解不等式组，得2≤n≤3，∴n＝2或3时an有最小值且a2＝a3，∴最小值为22－5×2＋4＝－2.求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由an≤an＋1，an≤an－1来确定n，求最大项可由an≥an＋1，an≥an－1来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．练一练2．在数列{an}中，an＝(n＋1)1011n(n∈N*)．(1)求证：数列{an}先递增后递减；(2)求数列{an}的最大项．解：(1)证明：令anan－1≥1(n≥2)，即n＋11011nn·1011n－1≥1，整理得n＋1n≥1110，解得n≤10.令anan＋1≥1，即n＋11011nn＋21011n＋1≥1，整理得n＋1n＋2≥1011，解得n≥9.所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减．(2)由(1)知a9＝a10＝1010119最大.[思考1]某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．你能写出前5排的座位数吗？名师指津：前5排的座位数分别为20，22，24，26，28．[思考2]已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n1)，如何求出a2，a3，a4?名师指津：a2＝3a1＋2＝3×1＋2＝5，a3＝3a2＋2＝3×5＋2＝17，a4＝3a3＋2＝3×17＋2＝53．讲一讲3．已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝2anan＋2给出，试写出这个数列的前5项．(链接教材P31－例3)[尝试解答]∵a1＝1，an＋1＝2anan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项分别为1，23，12，25，13.根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．练一练3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝anan＋1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵bn＝anan＋1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝a1a2＝12，b2＝a2a3＝23，b3＝a3a4＝35，b4＝a4a5＝58.故{bn}的前4项依次为b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.[思考1]对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？[思考2]若数列{an}中的各项均不为0，等式a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，anan－1＝n－1n(n≥2)，则它的通项an是什么？名师指津：等式a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝an成立．an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝1×12×23×…×n－2n－1×n－1n＝1n．讲一讲4．(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋1n（n＋1），n∈N*，求通项公式an；(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，求通项an.[思路点拨]根据递推公式的特点选择累加法或累乘法求解．[尝试解答](1)∵an＋1－an＝1n（n＋1），∴a2－a1＝11×2，a3－a2＝12×3，a4－a3＝13×4，…an－an－1＝1（n－1）n.以上各式累加得，an－a1＝11×2＋12×3＋…＋1（n－1）n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.∴an＋1＝1－1n，∴an＝－1n.(2)∵a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，∴anan－1＝n－1n，an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·n－3n－2·…·23·12·1＝1n.又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝1n.由递推公式求通项公式时，要根据递推公式的特点，选择相关方法求解．常用的方法有：(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项．(2)累乘法：当anan－1＝g(n)时，常用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1求通项．练一练4．已知数列{an}满足a1＝12，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．——————[课堂归纳·感悟提升]———————1．本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式．2．要掌握判断数列单调性的方法，见讲1，掌握求数列最大(小)项的方法，见讲2.3．要会用数列的递推公式求数列的项或通项，见结论和结论．4．要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.