2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念及通项公式课

等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本P35～39，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？(2)等差数列的通项公式怎样表示？(3)如何判定一个数列是等差数列？[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示．同一个公差d[点睛](1)“从第二项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.定义通项公式＝d(n≥2)an＝(n∈N*)an－an－1a1＋(n－1)d[点睛]由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列()×√√√解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d0时为递增数列；d＝0时为常数列；d0时为递减数列．(3)正确．只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－6解析：∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.答案：C3．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝()A．1B．－1C．±1D．±2解析：由已知得，a1a1＋2d＝8，a1＋d＝3，解得d＝±1.答案：C4．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3.答案：3等差数列的通项公式及应用[典例]在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[解](1)∵a5＝－1，a8＝2，∴a1＋4d＝－1，a1＋7d＝2，解得a1＝－5，d＝1.(2)设数列{an}的公差为d.由已知得，a1＋a1＋5d＝12，a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[活学活用]1．2018是等差数列4,6,8，…的()A．第1006项B．第1007项C．第1008项D．第1009项解析：∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2018＝2n＋2，∴n＝1008.答案：C2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由已知a1＋15－1d＝33，a1＋61－1d＝217，解得a1＝－23，d＝4.所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项.等差数列的判定与证明[典例]已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n1)，记bn＝1an－2.求证：数列{bn}是等差数列；[证明]∵bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12，又∵b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．要判定或证明一个数列{an}是等差数列，主要是利用等差数列的通项公式，证明an＋1－an＝d(常数)．[活学活用]判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中an＝3n＋2；(2)在数列{an}中an＝n2＋n.解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列.等差数列通项公式的综合应用题点一：求通项公式中的未知项1．在等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d≠0，若7ak＝a1＋a2＋…＋a7，则k＝________.解析：因为a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d，而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d，所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4.答案：4题点二：求通项公式中公差的范围2．在等差数列{an}中，首项a1＝1，且从第10项起开始比2大，则公差d的取值范围为________．解析：由an＝1＋(n－1)d，所以a102，a9≤2，即1＋9d2，1＋8d≤2所以19d≤18.答案：19，18题点三：求通项公式中共同项3．等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝4，若存在另一等差数列{bm}，bm＝3m－1，它们的项数均为100，则它们有多少对相同的项．解：显然，通项分别为an＝4n－3，bm＝3m－1(m，n∈N*，且1≤n≤100,1≤m≤100)，令an＝bm，得4n－3＝3m－1，即n＝3m＋24.由m，n∈N*,1≤n≤100,1≤m≤100，即1≤3m＋24≤100，1≤m≤100，所以m＝2,6,10，…，98.所以共有25对相同项．等差数列通项公式的应用主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性，遇到一些复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．