2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质课件 新人教

2.2等差数列第2课时等差数列的性质目标定位重点难点1.掌握等差数列的定义和通项公式．2．探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题.重点：等差数列的性质．难点：等差数列性质的应用.1．等差数列{an}的一些简单性质(1)对于任意正整数n，m都有an－am＝________.(2)对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq____ar＋as.特别地对任意正整数p，q，r，若p＋q＝2r，则ap＋aq＝______.(3)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差数列，公差为d，则{ban}也成等差数列且公差为______．(n－m)d＝2arbd(4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn，则{cn}，{dn}都是__________．(5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，…，a3n－2，…成等差数列．2．等差数列的单调性等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列；当d＜0时，等差数列{an}是单调递减数列；当d＞0时，等差数列{an}是单调递增数列．等差数列1．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是()A．bn＝－anB．bn＝a2nC．bn＝anD．bn＝1an【答案】A【解析】∵数列{an}是等差数列，∴an＋1－an＝d(常数)．对于A，bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B，若数列{an}＝{n}，则bn＝a2n＝n2，显然不是等差数列；对于C，D，an及1an不一定有意义．故选A．2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20D．24【答案】B【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.3．已知数列{an}中，a5＝10，a12＝31，则其公差d＝______.【答案】3【解析】d＝a12－a512－5＝31－107＝3.4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．【答案】30【解析】∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.【例1】在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6【解题探究】注意等差数列通项公式及性质的应用．【答案】B利用等差数列的通项公式或性质解题【解析】方法一：设公差为d，∵a4＝a2＋2d，即2＝4＋2d，∴d＝－1，∴a6＝a2＋4d＝0.方法二：由等差数列的性质可知a2，a4，a6成等差数列，所以2a4＝a2＋a6，即a6＝2a4－a2＝0.【方法规律】等差数列的性质：对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as.在牢记等差数列的通项公式时，灵活运用等差数列的性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝()A．45B．50C．75D．60【答案】B【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝50.故选B．【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．【解题探究】此题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．灵活设元求解等差数列【解析】(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝9，a－da＝6a＋d，解得a＝3，d＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，解得a＝1，d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝1.故所求的四个数为－2,0,2,4.【方法规律】常见设元技巧：(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．【解析】设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.由题设知a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，解得a＝132，d＝32或a＝132，d＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.【例3】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解题探究】在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．等差数列的实际应用【解析】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．【方法规律】在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．(2019年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的1份为多少？这个问题的答案为()A．53B．103C．56D．116【答案】A【解析】设五个人分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a.∴d＝556.∴最小的一份为a－2d＝20－2×556＝53.故选A．【示例】已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d且a11＝－26，a51＝54，则该数列从第几项开始为正数？忽略了对“从第几项开始为正数”的理解而致错【错解】∵a51＝a11＋40d，∴d＝54＋2640＝2.∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)＝2n－48.由an≥0，得2n－48≥0，∴n≥24.即从第24项开始，各项为正数．【错因】错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n＝24时，a24＝0.【正解】∵a51＝a11＋40d，∴d＝54＋2640＝2.∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)＝2n－48.由an＞0，得2n－48＞0，∴n＞24.显然当n≥25时，an＞0.即从第25项开始，各项为正数．1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示．2．若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝()A．64B．30C．31D．15【答案】D【解析】∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35【答案】C【解析】∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101＞0B．a2＋a100＜0C．a3＋a100≤0D．a51＝0【答案】D【解析】由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.4．在等差数列{an}中，若a22＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.【答案】4【解析】∵等差数列{an}中，a22＋2a2a8＋a6a10＝16，∴a22＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4.故答案为4.