2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第二课时 数列的性质与

第二课时数列的性质与递推公式[目标导航]课标要求1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.2.能根据数列的递推公式写出数列.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项.4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.素养达成通过对数列的性质与递推公式的学习,培养学生的函数思想与逻辑推理能力.新知导学课堂探究1.数列的函数性质(1)数列可以看成以(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.(2)在数列{an}中,若an+1an,则{an}是递增数列;若an+1an,则{an}为递减数列;若an+1=an,则{an}为常数列.新知导学·素养养成正整数集N*{1,2,…,n}思考1:若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,且an=f(n),那么数列{an}一定是递增数列吗?反之,是否一定成立?答案:一定是递增数列;反之不一定成立,例如an=n2-52n+1(n∈N*),{an}是递增数列,但函数f(x)=x2-52x+1在[1,+∞)上不单调.2.数列递推公式(1)两个条件:①已知数列的;②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论:具备以上两个条件的公式叫做这个数列的公式.第1项(或前n项)思考2:仅由数列{an}的递推关系an=an-1+1(n≥2,n∈N*)能否确定数列{an}?答案:仅由数列的递推关系an=an-1+1,只能确定{an}中相邻两项之间的关系,而无法确定数列.递推思考3:数列的通项公式与递推公式有什么区别?答案:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,通过通项公式就可以求出该项的值an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.名师点津已知数列的递推公式求通项公式的关注点(1)递推公式是获得通项公式的一个途径.(2)不是每一个数列都有递推公式,也不是每一个由递推公式给出的数列都可以写出其通项公式.课堂探究·素养提升题型一利用数列的函数性质判断数列的单调性[例1]已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)因为f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,所以2log2na-2log2na=-2n,即an-1na=-2n,所以2na+2nan-1=0,解得an=-n±21n.因为an0,所以an=21n-n,n∈N*.(2)判断数列{an}的增减性.解:(2)1nnaa=221111nnnn=221111nnnn1.因为an0,所以an+1an.所以数列{an}是递减数列.方法技巧根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列{an}的单调性,若an+1an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1an恒成立,则{an}是递减数列.解:(1)因为f(x)=2x,所以f(log2an)==2n-1,即an=2n-1.变式探究:将本题条件改为:已知函数f(x)=2x,且数列{an}满足f(log2an)=2n-1.如何解答?(2)由(1)知an=2n-1,所以an+1=2n,所以an+1-an=2n-2n-1=2n-10,所以an+1an,所以数列{an}是递增数列.[备用例1]已知数列{an}的通项公式为an=221nn.求证:此数列为递增数列.证明:因为an+1-an=22111nn-221nn=22222211[11][11]1nnnnnn=2221[11]1nnn,由n∈N*,得an+1-an0,即an+1an.所以数列{an}是递增数列.题型二求数列的最大项、最小项[例2]已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)(1011)n,试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.规范解答:法一因为an+1-an=(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011)n=(1011)n×911n,……4分当n9时,an+1-an0,即an+1an;6分当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;8分当n9时,an+1-an0,即an+1an.所以a1a2a3…a9=a10a11a12…,…10分所以该数列有最大项,为第9,10项,且a9=a10=10×(1011)9.…………12分法二根据题意,令11,.nnnnaaaa…………………………………2分即1110101,1111101012,1111nnnnnnnn………………………………4分解得9≤n≤10.…………………………………………………6分又n∈N*,所以n=9或n=10.10分所以该数列有最大项,为第9,10项,且a9=a10=10×(1011)9.……12分方法技巧(1)由于数列是特殊函数,因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等;此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件.(2)可以利用不等式组11,,nnnnaaaa找到数列的最大项;利用不等式组11,,nnnnaaaa找到数列的最小项.解:(1)由n2-5n+40,解得1n4.因为n∈N*,所以n=2,3.所以数列中有两项是负数.即时训练2-1:已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(2)法一因为an=n2-5n+4=(n-52)2-94,所以对称轴方程为n=52=2.5.又n∈N*,故n=2或3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=22-5×2+4=-2.法二设第n项最小,由11,,nnnnaaaa得2222541514,541514.nnnnnnnn解这个不等式组得2≤n≤3,所以n=2,3,所以a2=a3且最小,a2=a3=22-5×2+4=-2.[备用例2]已知数列{an}的通项公式为an=n·(34)n,试问数列{an}中有没有最大项?若有,求出最大项;若没有,请说明理由.解:(1)11,,nnnnaaaa⇔11331,44331,44nnnnnnnn⇔31,4314nnnn⇔3,4,nn又n∈N*且n≥2,所以n=3或n=4,即a3=a4=8164为数列{an}中的最大项.题型三由递推公式求通项公式[例3](1)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+1n),求通项公式an.解:(1)法一分别令n=1,2,…,n-1,有a2=a1+ln2,a3=a2+ln(1+12),…an=an-1+ln(1+11n).以上各式相加得an=a1+ln2+ln32+…+ln1nn=2+lnn.法二由题意可知an+1=an+ln1nn,即an+1-an=ln(n+1)-lnn,于是an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln2-ln1+2=2+lnn.(2)设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)21na-n2na+an+1an=0(n=1,2,3,…),求此数列的通项公式.解:(2)法一把(n+1)21na+an+1an-n2na=0整理得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0.因为an0,所以an+an+10,所以(n+1)an+1-nan=0,所以1nnaa=1nn,所以21aa·32aa·43aa·54aa·…·1nnaa=12×23×34×45×…×1nn所以1naa=1n.又因为a1=1,所以an=1na1=1n.法二同法一,得1nnaa=1nn,所以an+1=1nnan,所以an=1nnan-1=1nn·21nnan-2=1nn·21nn·32nnan-3=…=1nn·21nn·32nn·…·12a1=1na1.又因为a1=1,所以an=1n.方法技巧由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式,即(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.(2)累乘法:当1nnaa=g(n)时,常用an=1nnaa·12nnaa·…·21aa·a1求通项公式.即时训练3-1:已知数列{an},a1=2,an=2an-1(n≥2),求数列的通项公式an.解:因为a1=2,an=2an-1,所以1nnaa=2(n≥2),所以an=1nnaa·12nnaa·…·32aa·21aa·a1=222222n个=2n(n≥2).当n=1时,a1=2,符合上式,所以an=2n.解:(1)因为an=n(an+1-an),即1nnaa=1nn,所以21aa=21,32aa=32,43aa=43,…,1nnaa=1nn(n≥2,n∈N*).以上各式两边分别相乘,得1naa=21×32×43×…×1nn=n.又a1=1,所以an=n.[备用例3](1)已知数列{an}中,a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*).求数列的通项an;(2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=1nnaa(n∈N*),求通项an.解:(2)因为an+1=1nnaa,所以an+1(an+1)=an.所以an+1·an+an+1=an.两边同除以an+1·an,得11na-1na=1,所以21a-11a=1,31a-21a=1,…,1na-11na=1(n≥2).所以21a-11a+31a-21a+…+1na-11na=n-1.即1na-11a=n-1,所以1na=n,所以an=1n,n∈N*.错解:因为an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,所以an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2,所以an=an-1+(n-1)·an-1=nan-1,所以an=1nnaa·12nnaa·23nnaa·…·32aa·21aa·a1=n·(n-1)·(n-2)×…×3×2×1=n!,所以数列{an}的通项公式为an=n!.题型四易错辨析——忽略递推公式中n的取值范围致误[例4]已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式.(提示:如果n∈N*,那么n!=n·(n-1)·(n-2)×…×3×2×1)纠错:本题产生错误的原因是忽略了an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2中隐含的n≥3这一条件,使累乘过程中出现了错误.正解:因为an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),所以an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2(n≥3),所以当n≥3时,an=an-1+(n-1)an-1=nan-1(n≥3),所以1nnaa=n(n≥3).又因为a2=a1=1,所以当n≥3时,an=1nnaa·12nnaa·23nnaa·…·32aa·a2=n·(n-1)·(n-2)×…×3×1=[n·(n-1)·(n-2)×…×