2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 课后课时精练

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是()①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列；②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.A．①④B．②③C．③D．①②解析①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{an}表达数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表达数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选C.2．已知数列{an}的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有()①an＝12[1＋(－1)n＋1]；②an＝12[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；③an＝sin2nπ2；④an＝1－cosnπ2；⑤an＝1n为偶数，0n为奇数.A．1个B．2个C．3个D．4个解析当n＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n＝3时不符合，对于⑤显然n＝1时就不符合，故可作为{an}通项公式的有3个．故选C.3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不可能是()A．an＝1＋(－1)n＋1B．an＝1－cosnπC．an＝2sin2nπ2D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)解析当n＝1时，D不满足，故选D.4．已知下列命题：①已知数列{an}，an＝1nn＋2，(n∈N*)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，－5，22，－11，…，的一个通项公式是an＝(－1)n＋13n－1；③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列．其中命题正确的个数为()A．4B．3C．2D．1解析①an＝1nn＋2＝1120⇒n＝10.易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列2，5，8，11，…，则an＝(－1)n＋1·3n－1，故②正确；对于③，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，故③正确；对于④，由an＋1－an＝30，易知④正确．二、填空题5．已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋n，那么110是它的第________项．4解析令2n2＋n＝110，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以110是第4项．6．已知在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝f(an)，n∈N*，函数y＝f(x)的对应关系如下表，则a2017＝________.x12345f(x)543214解析由已知条件得a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝4.∴数列{an}是周期数列，an＋2＝an，∴a2017＝a1＋1008×2＝a1＝4.7．已知数列{an}的通项公式为，则an＝10n－1，那么数列{bn}的通项公式可化为bn＝_______________.89(10n－1)解析三、解答题8．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式：(1)1，－2,3，－4,5，…；(2)5,55,555,5555，…；(3)1，23，12，25，…；(4)1,3,6,10,15，…；(5)12，45，910，1617，…；(6)1，－13，17，－115，131，….解(1)这个数列的前4项1，－2,3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·n.(2)因为数列9,99,999,9999，…的第n项为10n－1，数列1,11,111,1111，…的第n项应为19(10n－1)，从而数列5,55,555,5555，…的通项公式是an＝59(10n－1)．(3)各项的分母依次为1,3,2,5，似乎没有规律，我们可以大胆设想，分母如果是2,3,4,5就好了，又注意到奇数项的分子为1，故将奇数项的分子、分母同乘以2，于是得到an＝2n＋1.(4)注意到6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，∴数列的通项公式为an＝n·n＋12.(5)注意各项的分子分别是12,22,32,42，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为an＝n2n2＋1.(6)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1，∴数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·12n－1.9．已知函数f(x)＝log2x－logx2(0x1)，数列{an}满足f(2an)＝2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是递增数列．解(1)由已知，得即an－1an＝2n，所以a2n－2nan－1＝0，解得an＝n±n2＋1，因为0x1，即02an1，所以an＝n－n2＋1.(2)证明：因为an＋1an＝n＋1－n＋12＋1n－n2＋1＝n＋n2＋1n＋1＋n＋12＋11，而an0(n＝1,2,3，…)，所以an＋1an，所以数列{an}是递增数列．10．已知数列{an}的通项公式是an＝1n2＋5n＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？(2)该数列中有负数项吗？解(1)对任意n∈N*，∵an＋1－an＝1n＋12＋5n＋1＋4－1n2＋5n＋4＝－2n＋3[n＋12＋5n＋1＋4]·n2＋5n＋40，∴数列{an}是递减数列．(2)因为n∈N*，所以n2＋5n＋40，则an＝1n2＋5n＋40，故数列{an}没有负数项．B级：能力提升练1．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是__________________________．an＝a＋b2＋(－1)n＋1a－b2解析a＝a＋b2＋a－b2，b＝a＋b2－a－b2，故an＝a＋b2＋(－1)n＋1a－b2.2．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年～公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.