2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量章末小结与测评课件 新人教A版必修4

1．平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使，或对直线外任意一点O，有(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．[典例1]如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M、N分别是DA、BC的中点，且DCAB＝k，设＝e1，＝e2，以e1、e2为基底表示向量、若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；③λa＝(λa1，λa2)；④a·b＝a1b1＋a2b2；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或a1b1＝a2b2(b1≠0，b2≠0)；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；⑦|a|＝a·a＝a21＋a22；⑧若θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[典例2](1)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35(2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2),若a∥b,则实数m等于()A．－2B.2C．－2或2D．0(3)已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152解析：(1)由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与同方向的单位向量是15＝35，－45.(2)a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±2，选C.(3)＝(2，1)，＝(5，5)，向量＝(2，1)在＝(5，5)上的投影为||cos，＝||答案：(1)A(2)C(3)A[对点训练]2．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13B．－13C．9D．－93．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：2．＝(－8，8)，＝(3，y＋6)．∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0.∴y＝－9.3．a·b＝－10，则(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝152，所以c·a＝－52，设a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a|·|c|＝－525×5＝－12，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.答案：(1)D(2)C1．两向量的数量积及其运算律两个向量的数量积是a·b＝|a||b|cosθ，θ为a与b的夹角，数量积满足运算律：①与数乘的结合律，即(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律，即a·b＝b·a；③分配律，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．[典例3]已知c＝ma＋nb，c＝(－23，2)，a⊥c，b与c的夹角为2π3，b·c＝－4，|a|＝22，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.解：∵c＝(－23，2)，∴|c|＝4.∵a⊥c，∴a·c＝0.∵b·c＝|b||c|cos2π3＝|b|×4×－12＝－4，∴|b|＝2.∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c.∴16＝n×(－4)．∴n＝－4.在c＝ma＋nb两边同乘以a，得0＝8m－4a·b.①在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12.②由①②，得m＝±6.∴a·b＝±26.∴cosθ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.[对点训练]4．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：∵BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|BC→|＝1，∴12＋t－32＝1，解得t＝3，∴BC→＝(1,0)，∴AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2.答案：C5.如图，在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则的最小值是________．答案：－2