2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 第2节 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运

2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P87～P90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a，根据向量的加法，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你认为它们与a有什么关系？提示：a＋a＋a＝3a的长度是a长度的3倍，且方向相同；(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a的长度是a长度的3倍，且方向相反．(2)λa与a(λ≠0，a≠0)的方向、长度之间有什么关系？提示：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反，且λa的长度是a长度的|λ|倍．(3)若a＝λb，则a与b共线吗？提示：共线．二、归纳总结·核心必记1.向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做，记作，它的长度与方向规定如下：（1）|λa|＝；（2）λa(a≠0)的方向当λ0时，与a方向，当λ0时，与a方向.特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝或λ0＝．向量向量的数乘λa|λ||a|00相同相反2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝；②(λ＋μ)a＝；③λ(a＋b)＝．特别地，(－λ)a＝＝，λ(a－b)＝．3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有实数λ，使.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb唯一一个b＝λa4.向量的线性运算向量的、、运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝．加减数乘λμ1a±λμ2b三、综合迁移·深化思维(1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．探究点一向量的线性运算[思考探究]向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．[典例精析]1．化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9a＋13b；(2)12（3a＋2b）－a＋12b－212a＋38b；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.[类题通法]向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．[针对训练]1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．解：原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a＝13－1－1a＋－1＋23＋2b＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－5＋103i＋－103－53j＝－53i－5j.探究点二用已知向量表示未知向量[典例精析]如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB→＝a，AD→＝b，DC→＝c，试用a，b，c表示BC→，MN→.[解]BC→＝BA→＋AD→＋DC→＝－a＋b＋c.∵MN→＝MD→＋DA→＋AN→，又MD→＝－12DC→，DA→＝－AD→，AN→＝12AB→，∴MN→＝12a－b－12c.[类题通法]用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．[针对训练]2.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝13BC，CN＝13CD，试用a，b表示探究点三共线向量定理的应用[思考探究](1)如何证明向量a与b共线？名师指津：要证向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可．(2)如何证明A，B，C三点在同一条直线上？[典例精析]3．(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.[类题通法]用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．[针对训练]3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．4.如图所示，正三角形ABC的边长为15，AP→＝13AB→＋25AC→，BQ→＝15AB→＋25AC→.求证：四边形APQB为梯形．证明：因为PQ→＝PA→＋AB→＋BQ→＝－13AB→－25AC→＋AB→＋15AB→＋25AC→＝1315AB→，所以PQ→∥AB→.又|AB→|＝15，所以|PQ→|＝13，故|PQ→|≠|AB→|，于是四边形APQB为梯形．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见探究点一；(2)用已知向量表示未知向量，见探究点二；(3)共线向量定理及应用，见探究点三.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.