2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 3.2 平面向量基本定理课件 北师大版必修4

1．什么叫平面向量的基底？基底是唯一的吗？2．平面向量的基本定理内容是什么？3．2平面向量基本定理一、预习教材·问题导入1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝.2．基底平面内的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线任一λ1e1＋λ2e2不共线二、归纳总结·核心必记[点睛]理解平面向量基本定理应关注的三点(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．(3)λ1，λ2是唯一的．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量都可能作为基底()(2)如果e1，e2是平面α内两个不共线向量，则λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量()(3)若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0()√××三、基本技能·素养培优2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①uuurAD与uuurAB；②uuurDA与uuurBC；③uurCA与uuurDC；④uuurOD与uuurOB，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：选B①uuurAD与uuurAB不共线；②uuurDA＝－uuurBC，则uuurDA与uuurBC共线；③uurCA与uuurDC不共线；④uuurOD＝－uuurOB，则uuurOD与uuurOB共线．由平面向量基底的概念知①③向量组可以作为平面的基底．3．若AD是△ABC的中线，已知uuurAB＝a，uuurAC＝b，则以a，b为基底表示uuurAD＝()A.12(a－b)B.12(a＋b)C.12(b－a)D.12b＋a解析：选B如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而uuurBD＝uuurDC，即uuurAD－uuurAB＝uuurAC－uuurAD，从而uuurAD＝12(uuurAB＋uuurAC)＝12(a＋b)．4.在如图所示的平行四边形ABCD中，uuurAB＝a，uuurAD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则uuurMN＝________(用a，b表示)．解析：uuurMN＝uuurMC＋uuurCN＝12uuurAD－14uuurAC＝12b－14(a＋b)＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b[典例]若向量a，b不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．[解]设存在实数λ，使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．考点一向量基底的判断[类题通法]判断所给两个向量能否作为基底的方法由基底的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为基底，只需判断其是否共线，而判断是否共线就是看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基底的向量必为非零向量．[针对训练]如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是()A．a＋b与a－bB．a＋2b与2a＋bC．a＋b与－a－bD．a与－b解析：选C由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A、B、D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底.[解]法一：由题意知，AO―→＝OC―→＝12AC―→＝12a，BO―→＝OD―→＝12BD―→＝12b.所以AB―→＝AO―→＋OB―→＝AO―→－BO―→＝12a－12b，BC―→＝BO―→＋OC―→＝12a＋12b，[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC―→＝a，BD―→＝b，试用基底a，b表示AB―→，BC―→.考点二用基底表示向量法二：设AB―→＝x，BC―→＝y，则AD―→＝BC―→＝y，又AB―→＋BC―→＝AC―→，AD―→－AB―→＝BD―→，则x＋y＝a，y－x＝b，所以x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即AB―→＝12a－12b，BC―→＝12a＋12b.[类题通法]一个重要结论：设a，b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则有x1＝x2，y1＝y2.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，uurBA＝a，uuurBC＝b.试以a，b为基底表示uuurEF，uuurDF，uuurCD.[针对训练]解：∵AD∥BC，且AD＝13BC，∴uuurAD＝13uuurBC＝13b.∵E为AD的中点，∴uuurAE＝uuurED＝12uuurAD＝16b.∵uuurBF＝12uuurBC，∴uuurBF＝12b，∴uuurEF＝uuurEA＋uuurAB＋uuurBF＝－16b－a＋12b＝13b－a，uuurDF＝uuurDE＋uuurEF＝－16b＋13b－a＝16b－a，uuurCD＝uuurCF＋uuurFD＝－(uuurDF＋uuurFC)＝－(uuurDF＋uuurBF)＝－16b－a＋12b＝a－23b.[典例]如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．[解]设BM―→＝e1，CN―→＝e2，则AM―→＝AC―→＋CM―→＝－3e2－e1，BN―→＝BC―→＋CN―→＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP―→＝λAM―→＝－λe1－3λe2，考点三平面向量基本定理的应用BP―→＝μBN―→＝2μe1＋μe2.故BA―→＝BP―→＋PA―→＝BP―→－AP―→＝(λ＋2μ)·e1＋(3λ＋μ)e2.而BA―→＝BC―→＋CA―→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.∴AP―→＝45AM―→，BP―→＝35BN―→，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.[类题通法]若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．[针对训练]1．[变设问]在典例条件下，若CM―→＝a，CN―→＝b，试用a，b表示CP―→.解：由典例解析知BP∶PN＝32，则NP―→＝25NB―→，CP―→＝CN―→＋NP―→＝CN―→＋25NB―→＝b＋25(CB―→－CN―→)＝b＋45a－25b＝35b＋45a.2．[变条件]若典例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值．解：如图，设BM―→＝e1，CN―→＝e2，则AM―→＝AC―→＋CM―→＝－2e2－e1，BN―→＝BC―→＋CN―→＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP―→＝λAM―→＝－λe1－2λe2，BP―→＝μBN―→＝2μe1＋μe2.故BA―→＝BP―→＋PA―→＝BP―→－AP―→＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而BA―→＝BC―→＋CA―→＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.∴AP―→＝23AM―→，BP―→＝23BN―→，∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.