2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量目标导航课标要求1.理解向量的有关概念及向量的几何及字母表示.2.理解共线向量、相等向量的概念.3.正确区分向量平行与直线平行.素养达成1.通过对向量的有关概念和向量的几何及字母表示的学习,促使学生养成直观想象和数学抽象的核心素养.2.通过对平行向量(共线向量)、相等向量等概念的理解,加强逻辑推理和数学建模素养的提升.新知导学课堂探究1.向量与数量(1)向量:既有,又有的量叫做向量.(2)数量:只有,没有的量称为数量.大小新知导学·素养养成方向2.向量的几何表示(1)有向线段:带有_______的线段叫做有向线段.它包含三个要素:________、、.以A为,以B为的有向线段记作AB.大小方向起点方向长度起点终点方向(2)向量的几何表示法:向量可以用____________表示,如果有向线段AB表示一个向量,通常我们就说向量AB.有向线段(3)向量的字母表示法:通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,在手写时用带箭头的小写字母a,b,c,…表示向量.也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB,CD.3.向量的长度(模)向量AB的___________也就是向量AB的长度(或称模),记作|AB|.大小思考1:“向量就是有向线段,有向线段就是向量”这一说法对吗?提示:不对.向量只有大小和方向两个元素,与起点无关,有向线段有起点、大小和方向.零4.特殊向量零向量长度等于的向量,记作_____单位向量长度等于的向量01个单位思考2:零向量没有方向吗?提示:零向量的方向不确定,即方向是任意的.相同5.向量的关系(1)相等向量长度相等、(2)平行向量(也叫共线向量)定义长度且方向的向量表示方法向量a与b相等,记作a=b结论有向线段表示同一个向量的条件:_______________________指向一致定义方向的非零向量表示方法向量a平行于向量b,记作a∥b规定零向量与平行相同或相反任一向量相等名师点津(1)向量与数量的区别①向量被赋予了几何意义,即向量是具有方向的,而数量是一个代数量,没有方向.②数量可以比较大小,而向量无法比较大小,如即使|a||b|也不能说ab,特殊地,若向量a,b是相等向量,记作a=b.③0与0不同,虽然|0|=0,但0是向量,而0是数量.提醒:初学者要特别注意零向量0与实数0书写的区别,对向量0,书写时不能漏掉“→”.(2)对平行向量(共线向量)的理解①共线向量与平行向量是同一概念的不同名称,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,并规定零向量与任意向量平行.表示共线向量的有向线段所在的直线可以平行,也可以重合,所以“共线”“平行”的含义不同于平面几何中“共线”“平行”的含义.②共线向量有四种情况:方向相同且模相等,方向相同且模不等,方向相反且模相等,方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.课堂探究·素养提升题型一向量的有关概念的判断[例1]下列说法正确的有.(1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(2)向量AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上;(3)向量AB与BA是平行向量;(4)任何两个单位向量都是相等向量.解析:(1)错误.由|a|=|b|仅说明a与b模相等,但不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反,并不要求两个向量AB,CD必须在同一直线上,因此点A,B,C,D不一定在同一条直线上.答案:(3)(3)正确.向量AB与BA是长度相等,方向相反的两个向量,所以AB与BA是平行向量.(4)错误.单位向量不仅有长度,而且有方向;单位向量的方向不一定相同,而相等向量要求长度相等,方向相同.方法技巧(1)单位向量、零向量是用向量的长度来定义的,共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的.相等向量是用向量的长度和方向共同定义的.(2)对于概念性题目,关键把握好概念的内涵与外延,正确理解向量共线、向量相等的概念,清楚它们的区别与联系.即时训练1-1:判断下列说法是否正确,并简要说明理由:(1)零向量只有大小没有方向;(2)相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量;(3)若向量a与向量b同向,|a||b|,则ab;(4)若a=b,b=c,则a=c.解:(1)不正确,零向量的长度为零,方向是任意的,并不是没有方向.(2)正确,相等向量的方向相同,因此必是平行向量,但平行向量的长度不一定相等,因此不一定是相等向量.(3)不正确,向量不能比较大小.(4)正确.因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同;又因为b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.[备用例1]有下列说法:①若a≠b,则a一定不与b共线;②若AB=DC,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;③在▱ABCD中,一定有AD=BC;④以坐标平面上的定点A为起点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆.⑤共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是____________.解析:对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;对于②,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故②不正确;对于③,在▱ABCD中,AD与BC平行且方向相同,所以AD=BC,故③正确;对于④,由于向量|AP|=1,所以点P的集合是以点A为圆心的单位圆,④正确.对于⑤,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故⑤不正确.答案:③④题型二向量的表示及应用[例2](1)如图,已知B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多可以写出个互不相等的非零向量;(1)解析:设线段AD的长度是3,则长度为1的向量有AB=BC=CD,BA=CB=DC,共2个互不相等的非零向量;长度为2的向量有AC=BD,CA=DB,共2个互不相等的非零向量;长度为3的向量有AD,DA,共2个互不相等的非零向量,综上知,最多可以写出6个互不相等的非零向量.答案:6(2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点,然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点.①作出向量AB,BC,CD;②求|AD|.(2)解:①向量AB,BC,CD如图所示.②由题意,易知AB与CD方向相反,故AB与CD共线.又|AB|=|CD|,所以在四边形ABCD中,ABCD.所以四边形ABCD为平行四边形.所以AD=BC.所以|AD|=|BC|=200km.方法技巧(1)向量的两种表示方法①几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.②字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如AB,CD,EF等.(2)两种向量表示方法的作用①用几何表示法表示向量,便于用几何研究向量运算,为用向量处理几何问题打下了基础.②用字母表示法表示向量,便于向量的运算.即时训练2-1:某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了102米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作出向量AB,BC,CD;解:(1)作出向量AB,BC,CD,如图所示.(2)求AD的模.解:(2)由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=102米,CD=10米,所以BD=10米.△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD=22510=55(米).所以|AD|=55米.解:向量AB,BC,CD如图.[备用例2]已知汽车从A地按北偏东30°的方向行驶200km到达B地,再从B地按南偏东30°的方向行驶200km到达C地,再从C地按西南方向行驶100km到达D地,作出向量AB,BC,CD(用1cm表示100km).题型三相等向量与平行向量(共线向量)[例3]如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且OA=a,OB=b.(1)与a的模相等的向量有多少个?(2)与a的长度相等,方向相反的向量有哪些?解:(1)与a的模相等的向量有23个.(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD,BC,AO,FE.解:(3)与a共线的向量有EF,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD.(3)与a共线的向量有哪些?(4)请一一列出与a,b相等的向量.(4)与a相等的向量有EF,DO,CB;与b相等的向量有DC,EO,FA.方法技巧(1)寻找相等向量,先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线;寻找共线向量,先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量.(2)向量的相关概念性质与几何知识交汇,要注意联系几何图形的相关性质,使向量与几何图形有机地结合起来.互动探究:若将本例中的正六边形ABCDEF改为如图所示的▱ABCD,则(1)与OA的模相等的向量有多少个?(2)与OA的模相等,方向相反的向量有哪些?(3)写出与AB共线的向量.解:(1)与OA的模相等的向量有OC,AO,CO三个向量.(2)与OA的模相等且方向相反的向量为OC,AO.(3)与AB共线的向量有DC,CD,BA.[备用例3]如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.(1)写出图中所示向量中与向量DE长度相等的向量;(2)写出图中所示向量中与向量FD相等的向量;(3)分别写出图中所示向量中与向量DE,FD共线的向量解:(1)与DE长度相等的向量是EF,FD,AF,FC,BD,DA,CE,EB.(2)与FD相等的向量是CE,EB.(3)与DE共线的向量是AC,AF,FC;与FD共线的向量是CE,EB,CB.题型四易错辨析[例4]下列说法正确的个数是()①向量a,b共线,向量b,c共线,则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合;③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;④有相同起点的两个非零向量不平行.(A)1(B)2(C)3(D)4错解:向量共线具有传递性,相等向量的各要素相同(包括起点、终点),同起点共线向量不是平行向量.故选B或C或D.纠错:对共线向量的概念理解不清,零向量与任一向量都是共线向量,共线向量也是平行向量,它与平面几何中的共线和平行不同.正解:事实上,对于①,由于零向量与任意向量都共线,因此①不正确;对于②,由于向量都是自由向量,则两个相等向量的始点和终点不一定重合,故②不正确;对于④,向量的平行只与方向有关,而与起点是否相同无关,故④不正确;a与b不共线,则a与b都是非零向量,否则,不妨设a为零向量,则a与b共线,与a与b不共线矛盾,从而③正确.故选A.方法技巧(1)向量是既有大小又有方向的量,解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑.(2)共线向量与平行向量是一组等价的概念,两个共线向量不一定在同一条直线上.当然,同一直线上的向量也是平行向量.(3)向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向;向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度,是数量,可以比较大小,但向量不能比较大小.课堂达标B1.下列说法中正确的个数是()①身高是一个向量;②∠AOB的两条边都是向量;③温度含零上和零下温度,所以温度是向量;④物理学中的加速度是向量.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量,①②③错误.④正确.B2.(2019·东莞市高一期中)下列说法中错误的是()(A)零向量与任一向量平行(B)方向相反的两个非零向量不一定共线(C)零向量的长度为0(D)方向相反的两个非零向量必不相等解析:对于选项A,零向量的方向是任意的,零向量与任一向量平行,选项A正确;对于选项B,方向相反的两个非零向量一定共线,选项B错误;对