2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 3.3 空间向量运算的坐标表示课件 北师

3．3空间向量运算的坐标表示一、预习教材·问题导入2018年3月14日，连云港发生一起交通事故，一辆半挂货车严重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救．为防止救援造成的二次伤害，现从3个方向用力拉动驾驶室门，这3个力两两垂直，其大小分别为|F1|＝300N，|F2|＝200N，|F3|＝2003N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？提示：(300,200,2003)．问题2：驾驶室门受到的合力有多大？提示：|F|＝500N.二、归纳总结·核心必记空间向量的坐标运算若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝；(4)a·b＝；(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(x1－x2，y1－y2，z1－z2)(λx1，λy1，λz1)x1x2＋y1y2＋z1z2(5)a∥b⇔a＝λb⇔，，(λ∈R)；(6)a⊥b⇔a·b＝0⇔；(7)|a|＝a·a＝____________；(8)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝_________________________.若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB―→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．x1＝λx2y1＝λy2z1＝λz2x1x2＋y1y2＋z1z2＝0x21＋y21＋z21x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22三、综合迁移·素养培优1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝()A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)D．(2,1，－3)答案：B2．与向量m＝(0,1，－2)共线的向量是()A．(2,0，－4)B．(3,6，－12)C．(1,1，－2)D.0，12，－1答案：D3．已知a＝(2,1,3)，b＝(－4,5，x)，若a⊥b，则x＝________________________________________.答案：1考点一空间向量的坐标运算[典例]已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，a·b.[解]2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)，a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.[类题通法]空间向量坐标运算的规律及注意点(1)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(2)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．[针对训练]1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，那么向量a－b＋2c＝()A．(0,1,2)B．(4，－5,5)C．(－4,8，－5)D．(2，－5,4)解析：a－b＋2c＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝(－4,8，－5)．答案：C2．已知A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求P点坐标，使(1)OP―→＝12(AB―→－AC―→)；(2)AP―→＝12(AB―→－AC―→)．解：AB―→＝(2,6，－3)，AC―→＝(－4,3,1)．(1)OP―→＝12(6,3，－4)＝3，32，－2，则P点坐标为3，32，－2；(2)设P为(x，y，z)，则AP―→＝(x－2，y＋1，z－2)＝12(AB―→－AC―→)＝3，32，－2，所以x＝5，y＝12，z＝0，即P点坐标为5，12，0.3．已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量c：(1)a·c＝0；(2)|c|＝10；(3)c与向量b＝(1,0,0)垂直．解：设c＝(x，y，z)，由三个条件得x－2y＋4z＝0，x2＋y2＋z2＝100，x＝0，解得x＝0，y＝45，z＝25或x＝0，y＝－45，z＝－25.∴c＝(0,45，25)或(0，－45，－25)．考点二用坐标运算解决向量的平行与垂直问题[典例]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P―→＝PD1―→，若PQ⊥AE，BD―→＝λDQ―→，求λ的值．[解]如图所示，以D为原点，DA―→，DC―→，DD1―→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3B1P―→＝PD1―→，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝34，所以点P的坐标为34，34，1.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQ⊥AE，所以PQ―→·AE―→＝0，所以b－34，b－34，－1·－1，0，12＝0，即－b－34－12＝0，解得b＝14，所以点Q的坐标为14，14，0，因为BD―→＝λDQ―→，所以(－1，－1,0)＝λ14，14，0，所以λ4＝－1，故λ＝－4.[类题通法]解决空间向量垂直、平行问题的有关思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．[针对训练]1．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.答案：A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是DC的中点，求证：AD⊥D1F.证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F0，12，0.∴AD―→＝(－1,0,0)，D1F―→＝0，12，－1.∴AD―→·D1F―→＝(－1,0,0)·0，12，－1＝0.∴AD⊥D1F.3．已知a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．(1)a∥b；(2)a⊥b.解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，∴x＝0，满足a∥b；②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，此时a不平行b，∴x≠1.③当x≠0且x≠1时，由a∥b⇔1－x21＝－3xx＝x＋11－x⇔1－x2＝－3，x＋11－x＝－3⇔x＝2.综上所述，当x＝0或2时，a∥b.(2)∵a⊥b⇔a·b＝0⇔(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0⇔1－x2－3x2＋1－x2＝0，解得x＝±105.考点三用空间向量的坐标运算解决夹角与距离问题[典例]直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．(1)求BN―→的长；(2)求cos〈BA1―→，CB1―→〉的值．[解]以C为原点，以CA―→，CB―→，A1D―→―→为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，BN―→＝(1，－1,1)，∴|BN―→|＝3.(2)依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．∴BA1―→＝(1，－1,2)，CB1―→＝(0,1,2)，∴BA1―→·CB1―→＝3，|BA1―→|＝6，|CB1―→|＝5.∴cos〈BA1―→，CB1―→〉＝BA1―→·CB1―→|BA1―→||CB1―→|＝3010.[类题通法]1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．[针对训练]1．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，求AB―→与CA―→的夹角．解：AB―→＝(－2，－1,3)，CA―→＝(－1,3，－2)，|AB―→|＝4＋1＋9＝14，|CA―→|＝1＋9＋4＝14，AB―→·CA―→＝2－3－6＝－7，∴cos〈AB―→，CA―→〉＝AB―→·CA―→|AB―→||CA―→|＝－714×14＝－12.∵〈AB―→，CA―→〉∈[0，π]，∴〈AB―→，CA―→〉＝2π3.2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点．(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有E0，0，12，F12，12，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G0，34，0.(1)证明：EF―→＝12，12，0－0，0，12＝12，12，－12，B1C―→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴EF―→·B1C―→＝12×(－1)＋12×0＋－12×(－1)＝0，∴EF―→⊥B1C―→，即EF⊥B1C.(2)∵C1G―→＝0，34，0－(0,1,1)＝0，－14，－1，∴|C1G―→|＝174.又∵EF―→·C1G―→＝12×0＋12×－14＋－12×(－1)＝38，|EF―→|＝32.∴cos〈EF―→，C1G―→〉＝EF―→·C1G―→|EF―→||C1G―→|＝5117.即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为5117.(3)∵F12，12，0，H0，78，12，∴FH―→＝－12，38，12.∴|FH―→|＝－122＋382＋122＝418.故FH的长为418.