2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.1 圆的标准方程课件 北师大版必修2

2.1圆的标准方程[学习目标]1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．2.会根据已知条件求圆的标准方程．3.能准确判断点与圆的位置关系.课前自主学习【主干自填】1．确定圆的条件(1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于(2)确定圆的条件：和2．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为.(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为.3．中点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为□01定长．□02圆心□03半径．□04(x－a)2＋(y－b)2＝r2□05x2＋y2＝r2□06x1＋x22，y1＋y22.4．点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在；若|CM|r，则点M在；若|CM|r，则点M在□07圆上□08圆外□09圆内(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在⇔(m－a)2＋(n－b)2r2；点M(m，n)在⇔(m－a)2＋(n－b)2r2.□10圆上□11圆外□12圆内【即时小测】1．思考下列问题若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？提示：圆心坐标(－a，－b)，半径：|t|.提示2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13提示：B设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆心是C(2，－3)且过原点，∴a＝2，b＝－3.∴r＝2－02＋－3－02＝13，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.提示3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(1,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外提示：C∵(1－2)2＋(2－3)2＝24，∴点在圆内．提示4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．πB．2πC．4πD．8π提示：C由题可知r＝2，∴S＝πr2＝4π.提示课堂互动探究例1写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为8；(2)圆心在(2,3)，半径为2；(3)圆心在(2，－1)且过原点．[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，∴圆的方程为x2＋y2＝64.(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，∴a＝2，b＝－1，r＝2－02＋－1－02＝5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.答案类题通法求圆的标准方程的方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．[变式训练1]求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．解(1)由两点间距离公式，得r＝6－22＋3＋22＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝－4－62＋－5＋12＝229，∴半径r＝29.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.答案(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案例2已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？[解]由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝12|P1P2|＝123＋12＋6－22＝22.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8.∵(2－1)2＋(2－4)2＝58，(5－1)2＋(0－4)2＝328，(3－1)2＋(2－4)2＝8，∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．答案类题通法判断点与圆位置关系的方法判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与r的关系：若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2r2；若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2r2.[变式训练2]点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1a1B．0a1C．a－1或a1D．a＝±1答案A解析∵点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)24，解得－1a1.答案解析例3求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．[解]解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a－b－3＝0，5－a2＋2－b2＝r2，3－a2＋－2－b2＝r2，解得a＝2，b＝1，r＝10.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.答案解法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为y＝－12(x－4)，由2x－y－3＝0，y＝－12x－4，解得x＝2，y＝1.即圆心C的坐标为(2,1)．∴r＝|CA|＝5－22＋2－12＝10.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.答案类题通法用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值．(3)代入标准方程，得出结果．[变式训练3]一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝x＋2上，求此圆的标准方程．解解法一：圆心在直线y＝x＋2上，∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2.∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，∴0－a2＋0－a－22＝r2，1－a2＋3－a－22＝r2，解得a＝－14，r2＝258.∴所求的圆的方程为x＋142＋y－742＝258.答案解法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中点坐标为12，32，∴弦OP的垂直平分线方程为y－32＝－13x－12，即x＋3y－5＝0.∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，∴由y＝x＋2，x＋3y－5＝0解得x＝－14，y＝74，即圆心坐标为C－14，74.又∵圆的半径r＝|OC|＝－142＋742＝258，∴所求的圆的方程为x＋142＋y－742＝258.答案易错点⊳忽略圆的标准方程中隐含条件——半径大于零[典例]已知点A(1,2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，求实数a的取值范围．[错解]∵点A(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)22a2，即5－2a0，∴a52，∴a的取值范围是－∞，52.[错因分析]忽略的圆的标准方程中隐藏着r20.[正解]∵点A(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)22a2，即5－2a0，∴a52，又2a20，∴a≠0.∴a的取值范围是(－∞，0)∪0，52.答案课堂小结1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.随堂巩固训练1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3)，2D．(2，－3)，2答案D解析根据圆的标准方程可知圆心为(2，－3)，半径为2.答案解析2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝2答案B解析以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.答案解析3．圆的直径端点为A(2,0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圆心C(2，－1)，半径r＝122－22＋0＋22＝1，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案解析4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．答案x2＋(y－1)2＝1解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案解析