2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.1 直线的倾斜角和斜

预习课本P61～64，思考并完成以下问题(1)直线倾斜角是怎么定义的？(2)过两点的直线的斜率公式是什么？斜率与倾斜角的关系如何？1．1直线的倾斜角和斜率一、预习教材·问题导入1．直线的倾斜角(1)概念：在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交，把x轴(正方向)按方向绕着旋转到和直线l所成的角．(2)范围：，当直线l和x轴时，倾斜角为0°.2．直线的斜率(1)概念：斜率k是直线倾斜角α(α≠90°)的，通常把______叫作直线的斜率．逆时针交点重合平行正切值tanα0°≤α＜180°二、归纳总结·核心必记(2)斜率与倾斜角对应关系：图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝____90°＜α＜180°斜率(范围)____________不存在_____(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝_________.90°k＝0k＞0k＜0y2－y1x2－x1[点睛]直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(3)斜率公式与两点的顺序无关．()××√三、基本技能·素养培优2．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．3．经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是________．4．经过两点P(1，－4)，Q(－1，－4)的直线的倾斜角是______．答案：3答案：5答案：0°考点一直线的倾斜角[典例]设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°[解析]因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．根据题意，画出图形，如图所示：通过图像可知：当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.[答案]D求直线倾斜角的常用方法(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义求出倾斜角．(2)分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°及90°＜α＜180°.[类题通法][针对训练]一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α解析：选D如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.考点二求直线的斜率[典例](1)过原点且斜率为33的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．(2)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①A(1,1)，B(－1，－2)；②A(－2，－3)，B(－2,3)；③A(2,2)，B(10,2)．[解析](1)因为直线l的斜率k＝33，所以直线l的倾斜角为30°，所以直线l′的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l′的斜率k′＝tan60°＝3.答案：3(2)解：①存在，k＝－2－1－1－1＝32.②不存在，因为两点的横坐标相等，所以斜率不存在．③存在，k＝2－210－2＝0.求直线斜率的两种方法(1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k＝tanα求得．(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1，要注意前提条件x1≠x2.若x1＝x2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．[类题通法][针对训练]经过点P(2，m)和Q(2m,5)的直线的斜率等于12，则m的值是()A．4B．3C．1或3D．1或4解析：选B由条件知5－m2m－2＝12.解得m＝3.考点三直线的倾斜角和斜率的综合应用[典例]已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[解]如图所示，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1.(1)要使l与线段AB有公共点，故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，故α的取值范围是45°≤α≤135°.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．[类题通法][针对训练]已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，(1)求直线AB和AC的斜率．(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝2－3－4－3＝17.直线AC的斜率kAC＝－2－30－3＝53.故直线AB的斜率为17，直线AC的斜率为53.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是17，53.