2019-2020学年高中数学 第二章 几何重要的不等式 2-3-2 数学归纳法原理应用课件 北师大

第1页3．2数学归纳法原理应用第2页知识探究第3页贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x－1，x≠0，n为大于1的自然数，则有(1＋x)n1＋nx．第4页1.贝努利不等式成立的两个条件一是x的范围是x－1且x≠0，x∈R.二是n为大于1的自然数．2．贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数α时，x－1时，①若0α1时，则(1＋x)α≤1＋αx；②若α0或α1，则(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立.第5页课时学案第6页题型一用数学归纳法证明不等式例1求证：当n≥2且n∈N＋时，1n＋1＋1n＋2＋…＋13n910.【证明】(1)当n＝2时，不等式的左边＝13＋14＋15＋16＝1920910，所以，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k910.第7页当n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13（k＋1）＝(1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋13k)＋13k＋1＋13k＋2＋13（k＋1）－1k＋1910＋13k＋1＋13k＋2＋13（k＋1）－1k＋1.由于13k＋113（k＋1），13k＋213（k＋1），第8页因此，左边910＋13k＋1＋13k＋2＋13（k＋1）－1k＋1910＋13（k＋1）＋13（k＋1）＋13（k＋1）－1k＋1＝910.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，不等式对大于1的正整数都成立．第9页探究1用数学归纳法证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推论过程中要应用归纳假设，并对照目标式进行恰当的放缩来实现，也可以在归纳假设后用分析法来证明n＝k＋1时不等式成立．第10页思考题1证明不等式：1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N＋)．第11页【证明】(1)当n＝1时，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k2k.那么n＝k＋1时，(1＋12＋13＋…＋1k)＋1k＋12k＋1k＋1＝2k（k＋1）＋1k＋1k＋（k＋1）＋1k＋1＝2k＋1.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立，根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋都成立．第12页题型二贝努利不等式的应用例2用贝努利不等式证明不等式：(1＋1)(1＋13)(1＋15)…(1＋12n－1)2n＋1(n∈N＋)．【证明】由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(n∈N＋，x≥－1)，得(1＋12k－1)21＋2×12k－1，其中n＝2，x＝12k－1(k∈N＋)，即1＋12k－12k＋12k－1，第13页则1＋13，1＋1353，1＋1575，…，1＋12n－12n＋12n－1(n∈N＋)，将上述各式两边分别相乘得：(1＋1)(1＋13)(1＋15)…(1＋12n－1)3×53×75×…×2n＋12n－1＝2n＋1，所以(1＋1)(1＋13)(1＋15)…(1＋12n－1)2n＋1(n∈N＋)．第14页探究2贝努利不等式可把二项式的乘方(1＋x)n缩小为1＋nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中可发挥较大的作用．第15页思考题2已知n为正整数，求证：(1－cosx)n≥(1－n)cosx.【证明】因为－cosx≥－1，所以由贝努利不等式，得(1－cosx)n＝[1＋(－cosx)]n≥1－ncosx.又1－ncosx＝(1－cosx)＋(1－n)cosx≥(1－n)cosx，所以(1－cosx)n≥(1－n)cosx.第16页题型三“观察—归纳—猜想—证明”思想方法的应用例3设f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N*.(1)当n＝1，2，3，4时，比较f(n)与g(n)的大小；(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．第17页【证明】(1)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(3)g(3)，f(4)g(4)．(2)猜想：当n≥3，n∈N*时，有nn＋1(n＋1)n，证明：①当n＝3，猜想成立，②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时猜想成立，即kk＋2(k＋1)k，kk＋1（k＋1）k1，因为(k＋1)2k(k＋2)，k＋1k＋2kk＋1，第18页所以（k＋1）k＋2（k＋2）k＋1＝(k＋1k＋2)k·（k＋1）2k＋2(kk＋1)k·k＝kk＋1（k＋1）k1，即n＝k＋1时成立．由①②知，对一切n≥3，n∈N*，nn＋1(n＋1)n都成立．第19页探究3对于“观察—归纳—猜想—证明”模式的问题，猜想正确与否是关键，证明猜想成立是根本．先归纳猜想，后证明解决问题，两者相辅相乘．第20页思考题3由下列不等式：112，1＋12＋131，1＋12＋13＋…＋1732，1＋12＋13＋…＋1152，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．第21页【证明】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为1＋12＋13＋…＋12n－1n2(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，112，猜想成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，第22页即1＋12＋13＋…＋12k－1k2，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1k2＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1k2＋2k2k＋1＝k＋12，即当n＝k＋1时，猜想也正确，所以对任意的n∈N*，不等式成立．第23页课后巩固第24页1．利用数学归纳法证明不等式“n22n对于n≥n0的正整数n都成立”时，n0应取值为()A．1B．3C．5D．7答案C解析代入验证，只有n≥5时，n22n都成立．第25页2．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n1314(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项12（k＋1）B．增加了两项12k＋1和12k＋2C．增加了B中两项但减少了一项1k＋1D．以上情况均不对第26页答案C解析由n＝k到n＝k＋1，左边多了两项12k＋1＋12k＋2，但也少了一项1k＋1，故选C.第27页3．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立；在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________________．答案1A1＋1A2＋1A3＋…＋1An≥n2（n－2）π(n≥3且n∈N＋)第28页4．已知数列8×112×32，8×232×52，8×352×72，…，8n（2n－1）2（2n＋1）2，…，Sn为其前n项和，计算S1，S2，S3，S4，并观察结果，推测出Sn的表达式，并用数学归纳法证明．思路先求S1，S2，S3，S4，然后归纳猜想，再进行证明．第29页解析由题意可得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，由此猜测Sn＝（2n＋1）2－1（2n＋1）2，即8×112×32＋8×232×52＋…＋8n（2n－1）2（2n＋1）2＝（2n＋1）2－1（2n＋1）2(n∈N*)．第30页证明如下：(1)当n＝1时，左边＝89，右边＝（2＋1）2－1（2＋1）2＝89，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即8×112×32＋8×232×52＋…＋8k（2k－1）2（2k＋1）2＝（2k＋1）2－1（2k＋1）2.第31页当n＝k＋1时，8×112×32＋8×232×52＋…＋8k（2k－1）2（2k＋1）2＋8（k＋1）（2k＋1）2（2k＋3）2＝（2k＋1）2－1（2k＋1）2＋8（k＋1）（2k＋1）2（2k＋3）2＝[（2k＋1）2－1]（2k＋3）2＋8（k＋1）（2k＋1）2（2k＋3）2第32页＝（2k＋1）2（2k＋3）2－（4k2＋4k＋1）（2k＋1）2（2k＋3）2＝（2k＋1）2[（2k＋3）2－1]（2k＋1）2（2k＋3）2＝（2k＋3）2－1（2k＋3）2，这就是说，n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对一切n∈N*都成立．第33页