2019-2020学年高中数学 第二章 几何重要的不等式 2-3-1 数学归纳法课件 北师大版选修4

第1页§3数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法第2页知识探究第3页1.数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．第4页2．数学归纳法的步骤第5页1.数学归纳法的适用范围数学归纳法可以证明与正整数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明．第6页2．数学归纳法中两步的作用在数学归纳法中第一步“检验n＝n0时命题成立”是奠基，是推理证明的基础，第二步是假设与递推，保证了推理的延续性．3．运用数学归纳法的关键运用归纳假设是关键，在使用归纳假设时，应分析p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，从p(k＋1)中分离出p(k)再进行局部调整.第7页课时学案第8页题型一用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：n∈N*时，11×3＋13×5＋…＋1（2n－1）（2n＋1）＝n2n＋1.【思路】按照数学归纳法的步骤进行证明．第9页【证明】(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1（2k－1）（2k＋1）＝k2k＋1.第10页则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋1（2k－1）（2k＋1）＋1（2k＋1）（2k＋3）＝k2k＋1＋1（2k＋1）（2k＋3）＝k（2k＋3）＋1（2k＋1）（2k＋3）＝2k2＋3k＋1（2k＋1）（2k＋3）＝k＋12k＋3＝k＋12（k＋1）＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．第11页探究1用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．第12页思考题1(1)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n（2n2－1）3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A．(k＋1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D.13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]第13页【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n＝k，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2.【答案】B第14页(2)看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正．用数学归纳法证明：1－2＋4－8＋…＋(－1)n－1·2n－1＝(－1)n－1·2n3＋13.证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝23＋13＝1，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋(－1)k－12k－1＝(－1)k－1·2k3＋13.第15页则当n＝k＋1时，有1－2＋4－8＋…＋(－1)k－1·2k－1＋(－1)k·2k＝1－（－2）k＋11－（－2）＝13－（－2）k＋13＝13－(－1)k－1·2k＋13＝(－1)k·2k＋13＋13.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由①与②知，对任意n∈R＋等式成立．第16页【解析】从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立．在第二步中，证n＝k＋1时没有用上假设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的．第二步正确证法应为：当n＝k＋1时，1－2＋4－8＋…＋(－1)k－1·2k－1＋(－1)k2k＝(－1)k－1·2k3＋13＋(－1)k·2k＝－(－1)k·2k3＋(－1)k·2k＋13＝(－13＋1)(－1)k·2k＋13＝(－1)k·2k＋13＋13.即当n＝k＋1时，等式也成立．第17页题型二用数学归纳法证明整除问题例2求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.【思路】对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．第18页【证明】(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除．则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对n∈N*命题成立．第19页探究2证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．第20页思考题2求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．【证明】(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∴能被x＋y整除．第21页(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除．当n＝k＋1时，即x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)都能被x＋y整除，即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立．第22页题型三用归纳法证明几何问题例3平面上有n(n≥2，且n∈N*)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点．求证：这n条直线共有f(n)＝n（n－1）2个交点．第23页【思路】由题目可获取以下主要信息：①与正整数有关的命题．②结论随n的变化而变化．解答本题可采用数学归纳法．第24页【证明】(1)当n＝2时，∵符合条件的两直线只有1个交点，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，则当n＝k＋1时，任取其中一条直线记为l，如图，剩下的k条直线为l1，第25页l2，…，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k)＝k（k－1）2.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个．∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝k（k－1）2＋k＝k2＋k2＝k（k＋1）2＝（k＋1）[（k＋1）－1]2.∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n∈N*且n≥2时成立．第26页探究3利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．第27页思考题3本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？加以证明．【证明】n的最小值应该为2，当n＝2时，有4条射线，当n＝3时，如图有3条线段6条射线，共9条线段或射线．第28页当n＝4时，不妨取出一条直线l1，则剩余3条直线l2，l3，l4相互分割成9条线段或射线．而l1与l2，l3，l4有3个交点，这3个交点将l1分割为2条线段，2条射线．而l2，l3，l4上又各多出1个交点，因此l2，l3，l4又被这一交点多分割出一条线段或射线，∴多出4＋3＝7条．∴n＝4时，有16条．由此推测，n条直线相互分割成n2条射线或线段．设φ(n)＝n2(n≥2，且n∈N*)．第29页证明如下：(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时，结论成立，φ(k)＝k2.则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1条直线，满足题设条件．不妨取出直线l1.第30页余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成φ(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk＋1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故φ(k＋1)＝φ(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2，且n∈N*都成立．第31页1．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)等于()A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2第32页答案D解析因为f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，所以f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2.所以f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.第33页2．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”时，从k到k＋1左边需增加的代数式为()A．2k－2B．2k－1C．2kD．2k＋1第34页答案D解析当n＝k时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)，当n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)．第35页3．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N*”，当n＝1时，左端为________．答案4第36页4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时等式成立．第37页由此可知对任意的n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．答案没有用到归纳假设第38页5．证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．证明(1)当n＝1时，左式＝－3＝右式，等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．则n＝k＋1时，第39页12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]．∴n＝k＋1时也成立．由(1)(2)知，原不等式对任何n∈N*都成立．第40页