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第1页1.2一般形式的柯西不等式第2页知识探究第3页1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.第4页1.对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.第5页2.等号成立的条件ai=k·bi(i=1,2,…,n)或bi=0,即:a1b1=a2b2=…=anbn或b1=b2=…=bn=0.第6页3.柯西不等式的两个变式(1)当ai∈R,bi0(i=1,2,…,n),∑ni=1ai2bi≥(∑ni=1ai)2∑ni=1bi,当且仅当bi=λai时等号成立.(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则∑ni=1aibi≥(∑ni=1ai)2∑ni=1aibi,当且仅当bi=λai时,等号成立.第7页课时学案第8页题型一利用柯西不等式证明有关的不等式例1设a,b,c为正数,求证:a2b+b2c+c2a≥a+b+c.【思路】分析式子结构―→构造两个数组―→利用公式求解.【证明】∵(a2b+b2c+c2a)(a+b+c)=[(ab)2+(bc)2+(ca)2]·[(b)2+(c)2+(a)2]第9页≥(ab·b+bc·c+ca·a)2=(a+b+c)2,即(a2b+b2c+c2a)(a+b+c)≥(a+b+c)2.又a,b,c∈R+,∴a+b+c0.∴a2b+b2c+c2a≥a+b+c.第10页探究1柯西不等式的结构特征可以记为(a1+a2+…+an)·(b1+b2+…+bn)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征),准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键.第11页思考题1若x,y,z∈R+,且x2+y2+z2=1,求证:0xy+yz+zx≤1.【证明】(x2+y2+z2)(y2+z2+x2)≥(xy+yz+zx)2,即1≥(xy+yz+zx)2,又x,y,z∈R+,∴0xy+yz+zx≤1.第12页题型二利用柯西不等式求最值例2设2x+3y+5z=29,求函数u=2x+1+3y+4+5z+6的最大值.【思路】由题目可获取以下主要信息:①已知变量x,y,z之间的关系符合特定条件;②所求式子中含有根式.解答本题的关键是去掉根号,并且利用好特定条件.第13页【解析】根据柯西不等式,得120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]≥(1×2x+1+1×3y+4+1×5z+6)2,故2x+1+3y+4+5z+6≤230.当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即x=376,y=289,z=2215时等号成立.此时umax=230.第14页探究2利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件.第15页思考题2已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.【解析】(3a+1+3b+1+3c+1)2=(1·3a+1+1·3b+1+1·3c+1)2≤(12+12+12)[(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2]=3[3(a+b+c)+3],又a+b+c=1,第16页∴(3a+1+3b+1+3c+1)2≤18.∴3a+1+3b+1+3c+1≤32.当且仅当3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13时,取等号.∴所求的最大值为32.第17页例3已知x2+2y2+3z2=1817,求3x+2y+z的最小值.【思路】x2+2y2+3z2为定值―→构造柯西不等式形式―→利用公式得出范围―→求解最小值.第18页【解析】(x2+2y2+3z2)[32+(2)2+(13)2]≥(3x+2y·2+3z·13)2=(3x+2y+z)2,∴(3x+2y+z)2≤(x2+2y2+3z2)[32+(2)2+(13)2]=12.∴-23≤3x+2y+z≤23.当且仅当x=-9317,y=-9317,z=-317时,3x+2y+z最小为-23.第19页探究3要求ax+by+z的最小值,利用柯西不等式(ax+by+z)2≤(a2+b2+12)(x2+y2+z2)的形式,再结合已知条件进行配凑,是常见的变形技巧.第20页思考题3若正数a,b,c满足a+b+c=1,求12a+1+12b+1+12c+1的最小值.【解析】由a+b+c=1,可得(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=5,且2a+1,2b+1,2c+1均为正数,则12a+1+12b+1+12c+1=15(12a+1+12b+1+12c+1)(2a+1+2b+1+2c+1),第21页由柯西不等式,得(12a+1+12b+1+12c+1)(2a+1+2b+1+2c+1)≥(12a+1·2a+1+12b+1·2b+1+12c+1·2c+1)2=9,当且仅当a=b=c时取“=”号,故12a+1+12b+1+12c+1的最小值为95,等号当a=b=c=13时取到.第22页题型三柯西不等式的综合应用例4(2015·福建)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求14a2+19b2+c2的最小值.第23页【解析】(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.第24页(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得(14a2+19b2+c2)(4+9+1)≥(a2×2+b3×3+c×1)2=(a+b+c)2=16,即14a2+19b2+c2≥87.当且仅当12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=27时等号成立.故14a2+19b2+c2的最小值为87.第25页思考题4已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c∈R+,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c≥9.第26页【解析】(1)因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(2)证明:由(1)知1a+12b+13c=1,又a,b,c∈R+,由柯西不等式,得a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a+12b+13c)≥(a·1a+2b·12b+3c·13c)2=9.第27页课后巩固第28页1.设a,b,c∈R+,且a+b+c=3,则1a+1b+1c的最小值为()A.9B.3C.3D.1第29页答案B解析[(a)2+(b)2+(c)2]·[(1a)2+(1b)2+(1c)2]≥(a·1a+b·1b+c·1c)2=32,即(a+b+c)(1a+1b+1c)≥32.当且仅当a=b=c时等号成立.又因为a+b+c=3,所以1a+1b+1c≥3,最小值为3.第30页2.若实数x,y,z满足x+2y+3z=a(a为常数),则x2+y2+z2的最小值为()A.a212B.a214C.a216D.a218第31页答案B解析因为(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=a2(当且仅当x1=y2=z3时取等号).所以14(x2+y2+z2)≥a2,所以x2+y2+z2≥a214.故选B.第32页3.设a1,a2,…,an为实数,P=a12+a22+…+an2n,Q=a1+a2+…+ann,则P与Q间的大小关系为()A.PQB.P≥QC.PQD.不确定第33页答案B解析∵n(a12+a22+…+an2)=(12+12+…+12)n个·(a12+a22+…+an2)≥(1×a1+1×a2+…+1×an)2=(a1+a2+…+an)2,∴a12+a22+…+an2n≥(a1+a2+…+ann)2.∴P≥Q.第34页4.已知x+4y+9z=1,则x2+y2+z2的最小值为_______________.答案198解析∵(x2+y2+z2)·(12+42+92)≥(1×x+4×y+9×z)2=(x+4y+9z)2=1,∴x2+y2+z2≥112+42+92=198.第35页5.已知A,B,C是三角形内角的弧度数.求证:1A+1B+1C≥9π.第36页证明∵A+B+C=π,∴π·(1A+1B+1C)=(A+B+C)(1A+1B+1C)=[(A)2+(B)2+(C)2]·[(1A)2+(1B)2+(1C)2]≥(A·1A+B·1B+C·1C)2=9.∴1A+1B+1C≥9π.第37页
本文标题:2019-2020学年高中数学 第二章 几何重要的不等式 2-1-2 一般形式的柯西不等式课件 北师
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