2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数的运算 第1课时

2.2对数函数2.2.1对数与对数的运算第1课时对数目标定位重点难点1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.掌握对数的基本性质及对数恒等式.重点：指数式与对数式的互化.难点：对数的概念及对数恒等式.1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的______，N叫做______.底数真数2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以____为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以____为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.3.对数与指数的关系当a＞0且a≠1时，ax＝N⇔x＝______.10elogaN4.对数的基本性质(1)______和____没有对数.(2)loga1＝____(a＞0且a≠1).(3)logaa＝____(a＞0且a≠1).负数零011.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)3＝8，所以log(－2)8＝3.()(2)对数式log43与log34的意义一样.()(3)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立.()【答案】(1)×(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若5x＝2019，则x＝________.(2)lg10＝________；lne＝________.(3)将log3a＝2化为指数式为________．【答案】(1)log52019(2)11(3)a＝323.思一思：为什么零和负数没有对数？【解析】在logaN＝b中，必须N0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab＝N中，N总是正数.指数式与对数式的互化【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝1128；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log1232＝－5；(5)lg0.001＝－3.【解题探究】利用指数式与对数式之间的互化关系求解.【解析】(1)log21128＝－7.(2)log327＝A．(3)lg0.1＝－1.(4)12－5＝32.(5)10－3＝0.001.【方法规律】指数式与对数式互化的方法：将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；而将对数式化为指数式，则反其道而行之.指数式与对数式的互化是一个重要内容，应熟练掌握.1.将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)64－13＝14；(5)log39＝2；(6)logxy＝z.【解析】(1)log214＝－2.(2)log10100＝2，即lg100＝2.(3)loge16＝a，即ln16＝A．(4)log6414＝－13.(5)32＝9.(6)xz＝y.对数的性质【例2】求下列各式中x的值.(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log(2－1)13＋22＝x；(4)71＋log75＝x.【解题探究】(1)(2)(3)主要利用loga1＝0，logaa＝1，(4)利用对数恒等式化简.【解析】(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1.∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3.∴x＝103＝1000.(3)∵log(2－1)13＋22＝x，∴(2－1)x＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1.∴x＝1.(4)x＝71＋log75＝7×7log75＝7×5＝35.【方法规律】1.对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.2.使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.2.利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.(1)log2x＝－12；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.【解析】(1)由log2x＝－12，得2－12＝x，∴x＝22.(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0且x≠1，∴x＝5.(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.对数恒等式alogaN＝N的应用【例3】计算：31＋log35－24＋log23＋103lg3＋12log25.【解题探究】将式子进行化简转化为能用对数恒等式求解的形式.【解析】31＋log35－24＋log23＋103lg3＋12log25＝3×3log35－24×2log23＋(10lg3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－295.【方法规律】对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用.这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N，要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数.3.求值：(1)912log34；(2)51＋log52.【解析】(1)912log34＝(32)12log34＝3log34＝4.(2)51＋log52＝5×5log52＝5×2＝10.【示例】对数式log(a－2)(5－a)＝b中，求实数a的取值范围．【错解】由题意得5－a0，∴a5.【错因】只注意真数大于0，即5－a0，忽视底数a－2的取值范围，从而得出a5的错误结论．忽视对数式底数和真数的取值范围致误【正解】由题意得5－a0，a－20，a－2≠1，∴2a3或3a5.【警示】在求解对数形式表达式中参数的取值范围时，应根据对数中的底数和真数满足的要求列出不等式组，进而求解即可．1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，已知a和N求x的运算是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.3.指数式与对数式的互化1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①、③、④正确，②不正确，只有a0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．【答案】C【解析】根据对数的定义知选C．2．2－3＝18化为对数式为()A．log182＝－3B．log18(－3)＝2C．log218＝－3D．log2(－3)＝183.若log3(log2x)＝1，则x－12等于()A．13B．36C．24D．39【答案】C【解析】∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3.∴x＝23＝8，则x－12＝18＝24.4.方程2log3x＝14的解是()A．x＝19B．x＝33C．x＝3D．x＝9【答案】A【解析】∵2log3x＝14＝2－2，∴log3x＝－2.∴x＝3－2＝19.5.已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于()A．5B．7C．10D．12【答案】D【解析】∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12.6.ln1＋log(2－1)(2－1)＝______.【答案】1【解析】ln1＋log(2－1)(2－1)＝0＋1＝1.7.求下列各式中的x.(1)logx27＝32；(2)log2x＝－23；(3)logx(3＋22)＝－2；(4)log5(log2x)＝0；(5)x＝log2719.【解析】(1)由logx27＝32，得x32＝27，∴x＝2723＝32＝9.(2)由log2x＝－32，得2－32＝x，∴x＝123＝24.(3)由logx(3＋22)＝－2，得3＋22＝x－2，即x＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，∴x＝21＝2.(5)由x＝log2719，得27x＝19，即33x＝3－2，∴x＝－23.