2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2 对数函数素养提升课件 新人教A版

第二章基本初等函数(Ⅰ)2．2对数函数素养提升核心素养归纳素养培优提能核心素养归纳一、换底公式的证明及其应用1．换底公式及证明换底公式：logbN＝logaNlogab.证明：设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.∴x＝logaNlogab，即logbN＝logaNlogab.2．换底公式的应用举例(1)乘积型【例1】(1)计算：log89·log2732；(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.[分析]先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．[解](1)换为常用对数，得log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝2lg33lg2·5lg23lg3＝23×53＝109.(2)证明：由换底公式，得logab·logbc·logcd＝lgblga·lgclgb·lgdlgc＝logad.[评注]此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．(2)知值求值型【例2】已知log1227＝a，求log616的值．[分析]本题可选择以3为底的对数进行求解．[解]log1227＝log327log312＝32log32＋1＝a，解得log32＝3－a2a.故log616＝log316log36＝4log321＋log32＝4×3－a2a1＋3－a2a＝4（3－a）3＋a.[评注]这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．(3)综合型【例3】设A＝1log519＋2log319＋3log219，B＝1log2π＋1log5π，试比较A与B的大小．[分析]本题可选择以19及π为底数进行解题．[解]A换成以19为底数，B换成以π为底数，则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log193602，B＝logπ2＋logπ5＝logπ10logππ2＝2.故AB．[评注]一般也有倒数关系式成立，即logab·logba＝1，logab＝1logba.二、巧解指数、对数函数综合题指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0a1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指数、对数函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．1．共享底数对数式与指数式互化，其底数一致，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解决指数、对数方程及互化等问题．【例1】方程log3(1－2×3x)＝2x＋1的解x＝________．[解析]将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2×3x，即3×(3x)2＋2×3x－1＝0，得3x＝13，故x＝－1.[答案]－12．亮出底数在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．【例2】当a1时，在同一坐标系中，能表示函数y＝a－x与y＝logax的图象的是()[解析]由a1时，有01a1，则指数函数y＝a－x＝1ax在R上是减函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，故排除B、C、D．[答案]A3．变换底数对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．【例3】若loga2logb20，则()A．0ab1B．0ba1C．ab1D．ba1[解析]化为同底，有1log2a1log2b0，从而log2blog2a0，即log2blog2alog21.∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，∴0ba1.[答案]B4．讨论底数当底数不定时，常分0a1与a1两种情况进行讨论．【例4】函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的差为5，则a＝________．[解析]由题意知，a0，且a≠1.①当a1时，有a1－a0＝5，即a＝6；②当0a1时，有a0－a1＝5，即a＝－4(舍去)．综上知，a＝6.[答案]65．消去底数有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．【例5】设0x1，a0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．[解]作商loga（1－x）loga（1＋x）＝|log(1＋x)(1－x)|，∵0x1，∴01－x1，11＋x2，01－x21，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)11－x＝log(1＋x)1＋x1－x2log(1＋x)(1＋x)＝1.∴|loga(1－x)||loga(1＋x)|.