2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2 指数函数及其性质 第二课时

第二课时指数函数的图象及性质的应用(习题课)[目标导航]课标要求1.理解指数函数的单调性与底数a的关系,能够利用指数函数的单调性解决一些实际问题;2.理解指数函数底数a对函数图象的影响;3.学会利用函数思想、分类讨论思想解决实际问题.素养达成1.通过利用指数函数的单调性解决一些实际问题培养数学运算、数学建模的核心素养.2.通过指数函数底数a对函数单调性的影响培养逻辑推理的核心素养.课堂探究·素养提升题型一利用指数函数图象与性质比较大小解:(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值,由于底数1.51,所以函数y=1.5x在R上是增函数,因为2.53.2,所以1.52.51.53.2.[例1]比较下列各组数的大小:(1)1.52.5和1.53.2;解:(2)0.6-1.2,0.6-1.5可看作函数y=0.6x的两个函数值,因为函数y=0.6x在R上是减函数,且-1.2-1.5,所以0.6-1.20.6-1.5.(3)由指数函数性质得,1.70.21.70=1,0.92.10.90=1,所以1.70.20.92.1.(2)0.6-1.2和0.6-1.5;(3)1.70.2和0.92.1;解:(4)当a1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1a0.3;当0a1时,y=ax在R上是减函数,故a1.1a0.3.(4)a1.1与a0.3(a0且a≠1).方法技巧比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较.(2)幂指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时,要按底数a1和0a1两种情况分类讨论.即时训练1-1:(1)已知c0,则下列不等式中成立的一个是()(A)c2c(B)c(12)c(C)2c(12)c(D)2c(12)c(1)解析:在同一平面直角坐标系中分别作出y=x,y=(12)x,y=2x的图象如图所示.显然,当x0时,x2x(12)x,即当c0时,c2c(12)c.故选C.(2)解:①化同底得20.6,(12)-0.7=20.7,80.3=20.9.因为函数y=2x在R上是增函数,且0.60.70.9,所以20.620.720.9,即20.6(12)-0.780.3.②由指数函数的性质,得1.40.31.40=1,0.920.90=1.故1.40.30.92.(2)试比较下列各组数的大小.①20.6,(12)-0.7,80.3;②1.40.3与0.92.[备用例1](1)比较(53)14,223,(-34)3,(35)12各数的大小.解:(1)因为(-34)30,（53）14（53）0,22320,（35）12（35）0,所以（-34）30,（53）141,2231,（35）121.因为y=（53）x是R上的增函数,所以（53）14（53）23,又232325()3=（65）231,所以223（53）23.所以（-34）3（35）12（53）14223.解:(2)因为y=0.5x在R上是减函数,所以0.50.60.50.5,又0.50.50.60.5=（65）121,所以0.60.50.50.5,所以0.50.60.60.5.(2)试比较0.50.6和0.60.5的大小.解:(1)因为（13）x-2≤3,所以32-x≤31.又因为y=3x在R上是增函数,所以2-x≤1,所以x≥1.(2)因为a2+a+3=（a+12）2+1141,所以y=(a2+a+3)x在R上是增函数,所以2x1-x.所以x13.所以x的取值范围是｛x｜x13｝.题型二解简单的指数方程与指数不等式[例2]解不等式:(1)（13）x-2≤3;(2)(a2+a+3)2x(a2+a+3)1-x.一题多变:若将本例(1)中不等式改为ax-2≤a(a0且a≠1),如何求解?解:因为ax-2≤a,所以ax-2≤a1.所以当a1时原不等式等价于x-2≤1,所以x≤3.当0a1时,原不等式等价于x-2≥1.所以x≥3.综上,当a1时,x≤3;当0a1时,x≥3.方法技巧解与指数有关的不等式时,需注意的问题(1)形如axay的不等式,借助y=ax(a0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0a1两种情况讨论;(2)形如axb的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax(a0,且a≠1)的单调性求解;(3)形如axbx的形式,利用图象求解.解:y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a0且a≠1.(1)y1=y2,即a3x+1=a-2x,可得3x+1=-2x,解得x=-15.所以当x=-15时,y1=y2.即时训练2-1:设y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a0且a≠1,确定x为何值时,有:(1)y1=y2;(2)y1y2.(2)y1y2,即a3x+1a-2x,当a1时,可得3x+1-2x,解得x-15.当0a1时,可得3x+1-2x,解得x-15.综上,当a1时,x-15.当0a1时,x-15.规范解答:(1)f(0)=a-0221=a-1.……1分题型三指数函数性质的综合应用[例3](12分)已知函数f(x)=a-221x.(1)求f(0)的值;规范解答:(2)因为f(x)的定义域为R,所以y=221x在R上是减函数.…………2分所以f(x)=a-221x在R上是增函数.……3分所以任取x1,x2∈R,且x1x2.(2)试用复合函数单调性法则,探究f(x)的单调性,并证明你的结论;则f(x2)-f(x1)=a-2221x-a+1221x=21212(22)(21)(21)xxxx………………………………4分因为y=2x在R上单调递增,且x1x2.所以012x22x,22x-12x0,12x+10,22x+10.所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).所以f(x)在R上单调递增.……………………6分规范解答:(3)法一因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a-221x=-a+221x,所以2a=221x+221x=212x+2212xx.所以a=1.…………………………8分(3)若f(x)是奇函数,求满足不等式f(ax)+f(-2)0的范围.所以f(ax)+f(-2)0,即为f(x)-f(-2)=f(2),所以f(x)f(2).……10分又f(x)在R上单调递增,所以x2.故x的取值范围为(-∞,2).……12分法二因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(-0)=-f(0),所以f(0)=0.所以a-1=0,所以a=1.……………8分所以f(ax)+f(-2)0,即为f(x)-f(-2)=f(2),所以f(x)f(2).………………10分又f(x)在R上单调递增,所以x2.故x的取值范围为(-∞,2).……12分方法技巧(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题,可利用奇、偶函数的定义,根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),结合指数运算性质建立方程求参数;(2)若奇函数在原点处有定义,则可利用f(0)=0,建立方程求参数;(3)本题中,将f(ax)+f(-2)0变形为f(ax)f(2)后,只能利用函数单调性转化为关于自变量的不等式,而不能代入解析式求解.解:(1)函数f(x)=319xx+12在(-∞,0]上是增函数.任取x1x2≤0,则13x23x,123xx1.所以f(x1)-f(x2)=11391xx-22391xx即时训练3-1:已知f(x)的定义域是(-∞,0],且f(x)=391xx+12.(1)试判断f(x)在(-∞,0]上的单调性,并证明你的结论;=12122112223333(91)(91)xxxxxxxx=121212(33)(13)(91)(91)xxxxxx0,所以f(x1)f(x2),即f(x)在(-∞,0]上是单调增函数.解:(2)因为函数f(x)在(-∞,0]上是单调增函数.所以f(x)≤f(0)=00391+12=1,即f(x)max=1.(2)求函数f(x)的最大值.解:(1)函数f(x)是奇函数,证明如下:因为x∈R,f(-x)=1221xx=112112xx=2112xx=-f(x),所以f(x)是奇函数.[备用例2]已知函数f(x)=1221xx.(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;解:(2)法一令2x=t,则g(t)=11tt=-1+21t.因为x∈(1,+∞),所以t2,所以t+13,021t23.所以-1g(t)-13,所以f(x)的值域是(-1,-13).(2)当x∈(1,+∞)时,求函数f(x)的值域.法二令y=f(x)=1212xx,所以2x=11yy,又因为x∈(1,+∞).所以2x2,所以11yy2,即11yy-2=311yy0,所以311yy0,所以-1y-13,即f(x)值域为(-1,-13).解:1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3×(1-50%)mg/mL,2小时后其血液中酒精含量为0.3×(1-50%)×(1-50%)mg/mL,即0.3×(1-50%)2mg/mL,…,题型四指数函数的概念【例4】某驾驶员喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液酒精含量不得超过0.08mg/mL,那么该驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶?(精确到1小时)x小时后其血液中酒精含量为0.3(1-50%)xmg/mL,由题意知0.3(1-50%)x≤0.08,即(12)x≤415.采用估算法,x=1时,(12)1=12415;x=2时,(12)2=14=416415.由于y=(12)x是减函数,所以满足要求的x的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.即时训练4-1:某医药研究所开发一种抗甲流新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)结合图,求k与a的值;解:(1)由题意,当0≤t≤1时,函数图象是一条线段,由于过原点与点(1,4),所以k=4,其解析式为y=4t,0≤t≤1;当t≥1时,函数的解析式为y=(12)t-a,此时M(1,4)在曲线上,将此点的坐标代入函数解析式得4=(12)1-a,解得a=3.解:(2)由(1)知,f(t)=34,01,1(),1.2tttt(2)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);解:(3)由(2)知,令f(t)≥0.5,即340.5,01,1()0.5,1,2tttt所以18≤t≤4.即服药一次治疗有效的时间范围为18≤t≤4.(3)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效,求服药一次治疗有效的时间范围?错解:因为y=ax在[1,2]上的最大值是a2,最小值是a,所以a2-a=2a,即a=0或a=32,故选B.题型五易错辨析[例5](2019·黑龙江省牡丹江一中高一上学期期中)函数y=f(x)=ax(a0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大2a,则a等于()(A)12(B)32(C)12或32(D)12或23正解:当a1时,函数f(x)=ax(a0且a≠1)在区间[1,2]上是增函数,由题意可得a2-a=2a,所以a=32;当0a1时,函数f(x)=ax(a0且a≠1)