2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2 指数函数及其性质 第2课时

2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数及其性质的应用目标定位重点难点1.掌握利用指数函数的单调性比较大小的方法技巧.2.理解并能运用指数函数的单调性解决指数不等式的解法.重点：比较幂值大小，简单不等式的解法.难点：指数函数的综合问题.1.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0cd1aB．在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由________变______；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由________变______；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增.大小大小3.函数y＝f(x)向左平移k(k0)个单位，得到函数______________的图象，向右平移k个单位，得到函数____________的图象.4.关于指数型函数y＝af(x)(a0且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性.它由两个函数________________复合而成.2.指数函数y＝ax与y＝1ax(a0且a≠1)的图象关于______轴对称.yy＝f(x＋k)y＝f(x－k)y＝au，u＝f(x)5.y＝f(u)，u＝g(x)，函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：6.求复合函数的单调区间，首先求出函数的________，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性.u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增________增减________减增________减减________增减减增定义域1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)3－1.83－2.5()(2)7－0.58－0.5()(3)0.20.30.30.2()【答案】(1)√(2)×(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)如果a－5xax＋7(a0且a≠1)，(1)当a1时，x的取值范围是______；(2)当0a1时，x的取值范围是______.【答案】(1)－∞，－76(2)－76，＋∞3.思一思：指数函数图象的大致走势有几种？主要取决于什么？【解析】指数函数图象的大致走势有两种，一种是从左到右图象是下降的，而另一种恰好相反，图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系.利用指数函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.【解题探究】当底数相同时，可以利用指数函数的单调性比较大小，当底数不同时利用中间变量比较大小.【解析】(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.2679＜0.3，所以0.72－3＞0.70.3.(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6.又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6.所以0.60.4＞0.40.6.【方法规律】三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小．1．比较下列各题中两个值的大小：(1)5－1.8,5－2.5；(2)4－0.5,5－0.5；(3)6－0.8,70.7.【解析】(1)因为51，所以函数y＝5x在定义域R上单调递增．又－1.8－2.5，所以5－1.85－2.5.(2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响，画出函数y＝4x与y＝5x的图象(图略)，可得4－0.55－0.5.(3)因为167，所以指数函数y＝6x与函数y＝7x在定义域R上是增函数，且6－0.81,70.71，所以6－0.870.7.【例2】设0a1，解关于x的不等式a2x2－3x＋2a2x2＋2x－3.【解题探究】0a1时y＝ax单调递减.原不等式转化为2x2－3x＋22x2＋2x－3.【解析】∵0a1，∴y＝ax在R上是减函数.又a2x2－3x＋2a2x2＋2x－3，∴2x2－3x＋22x2＋2x－3，解得x1.∴不等式的解集是(1，＋∞).解简单的指数不等式【方法规律】解指数不等式应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论.(2)形如axb的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.2.本例中若将“0a1”变为“a0且a≠1”，则不等式的解集又是什么？【解析】当0a1时，y＝ax在R上是减函数，∵a2x2－3x＋2a2x2＋2x－3，∴2x2－3x＋22x2＋2x－3，解得x1.∴不等式的解集为(1，＋∞).当a1时，y＝ax在R上是增函数，又a2x2－3x＋2a2x2＋2x－3，∴2x2－3x＋22x2＋2x－3，解得x1.∴不等式的解集是(－∞，1).综上可知，当0a1时，不等式的解集为(1，＋∞)，当a1时，不等式的解集为(－∞，1).指数函数性质的综合应用【例3】已知函数f(x)＝3x－13x＋1.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；(3)求f(x)的值域.【解题探究】(1)利用奇函数的定义证明；(2)利用函数的单调性的定义证明；(3)分离常数，根据函数的结构特点求函数的值域.【解析】(1)证明：由题知f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＋1＝3－x－1·3x3－x＋1·3x＝1－3x1＋3x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)f(x)在定义域上是增函数.证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝3x2－13x2＋1－3x1－13x1＋1＝1－23x2＋1－1－23x1＋1＝2·3x2－3x13x1＋13x2＋1.∵x1＜x2，∴3x2－3x1＞0,3x1＋1＞0,3x2＋1＞0.∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)为R上的增函数.(3)f(x)＝3x－13x＋1＝1－23x＋1，∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜23x＋1＜2⇒－2＜－23x＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1，即f(x)的值域为(－1,1).【方法规律】1.解决指数函数性质的综合问题应关注两点1指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义.2指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.,2.与指数函数复合的单调性问题归根结底是由x1x2到fx1与fx2的大小，再到gfx1与gfx2的大小关系问题.3．(1)求函数y＝12x2－6x＋17的单调区间；(2)求函数y＝122x－8·12x＋17的单调区间．【解析】(1)y＝12x2－6x＋17的定义域为R.在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，∴y＝y＝12x2－6x＋17在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，∴y＝12x2－6x＋17在[3，＋∞)上是减函数．∴y＝12x2－6x＋17的单调增区间是(－∞，3]，单调减区间是[3，＋∞)．(2)设t＝12x0，易知y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增．令12x≤4，得x≥－2.∴当－2≤x1x2时，4≥12x1＞12x2，即4≥t1t2，∴t21－8t1＋17t22－8t2＋17.∴y＝122x－8·12x＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得单调减区间是(－∞，－2]．【示例】求函数y＝9x＋2·3x－2的值域.【错解】设3x＝t，则9x＝t2，∴y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.∴ymin＝－3，从而y＝9x＋2·3x－2的值域为[－3，＋∞).因忽略换元后新变量的范围而出错【错因】若y＝－3，则9x＋2·3x＝－1，显然不成立.错因在于没有注意t＝3x0这一隐含条件，在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围.【正解】设3x＝t(t0)，则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.y在t＞0时，单调递增，y＞－2.∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞).【警示】指数函数y＝ax(a0且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝ax，则t0，一定要注意换元后新变量的范围.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.2.指数函数单调性的应用(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数.(2)形如ax＞ay的不等式，当a＞1时，ax＞ay⇔x＞y；当0＜a＜1时，ax＞ay⇔x＜y.1.函数y＝121－x的单调递增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)【答案】A【解析】定义域为R.设u＝1－x，y＝12u.∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，y＝12u在(－∞，＋∞)为减函数，故y＝121－x在(－∞，＋∞)是增函数.故选A．2.若122a＋1＜123－2a，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．12，＋∞C．(－∞，1)D．－∞，12【答案】B【解析】原不等式等价于2a＋1＞3－2a，解得a＞12.3．(2019年河南信阳模拟)已知a＝35－13，b＝35－14，c＝32－34，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a【答案】D【解析】因为－13＜－14＜0，所以35－13＞35－14＞350＝1，即a＞b＞1，且32－34＜320＝1，所以c＜1，综上，c＜b＜a.4.某种细菌在培养过程中，每20min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3h，这种细菌由1个可繁殖成________个.【答案】512【解析】3h＝9×20min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个.5.已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.【答案】12【解析】∵函数f(x)为奇函数，∴f(0)＝a－12＝0.∴a＝12.