2019-2020学年高中数学 第二章 函数章末总结归纳课件 北师大版必修1

第二章函数章末总结归纳定义域、值域为函数三要素中的两种．研究函数问题必须考虑函数的定义域，且首先要考虑定义域．值域问题在函数中占有重要地位，是高中数学的重要内容．常用求值域方法有图像法、单调性法、配方法、换元法等．(1)求函数y＝3x21－x＋3x＋1的定义域；(2)已知函数ƒ(x)的定义域为[－1，1]，求函数ƒ(2x－1)的定义域．【解】(1)要使函数有意义，当且仅当1－x0，3x＋1≥0，即x1，x≥－13，所以函数的定义域为x－13≤x1.(2)因为ƒ(x)的定义域为[－1，1]，所以－1≤2x－1≤1，即0≤x≤1，所以函数ƒ(x)的定义域为[0，1]．求下列函数的值域．(1)y＝x2－2x－3(x∈[－2，5])；(2)y＝x＋2x－1.【解】(1)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，画函数图像的草图如图，当x∈[－2，5]时，知函数图像的最高点为(5，12)，最低点为(1，－4)，因此函数的值域为[－4，12]．(2)解法一：设u＝2x－1，则u≥0，且x＝1＋u22，于是，y＝1＋u22＋u，即y＝12(u＋1)2，故函数y＝x＋2x－1的值域为12，＋∞.解法二：易知y＝x＋2x－1的定义域为12，＋∞，且在12，＋∞上为增函数，所以y＝x＋2x－1的值域为12，＋∞.函数表示法中的解析法是一种经常用到且十分重要的方法，好多函数问题需用解析式表示．(1)已知f(x－1)＝x2－2x＋7，求f(x)和f(x＋1)的解析式；(2)已知f(x＋1)＝x2－1，求f(x)的表达式；(3)设对任意实数x，y，均有f(x＋y)＝2f(y)＋x2＋2xy－y2＋3x－3y，求f(x)的表达式．【解】(1)解法一：(配凑法)：f(x)＝f[(x＋1)－1]＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6，或f(x－1)＝(x－1)2＋6，∴f(x)＝x2＋6.∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.解法二：(换元法)：设t＝x－1，即x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6，故f(x)＝x2＋6.f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.(2)解法一：(配凑法)：f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)，可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t，故f(x)＝x2－2x.解法二：(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，代入原式，有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，所以f(x)＝x2－2x.(3)设x＝y＝0，∴f(0)＝0，当x为任意实数，y＝0时，f(x)＝2f(0)＋x2＋3x，∴f(x)＝x2＋3x.已知奇函数f(x)在x≤0时解析式为f(x)＝x2－3x，求x＞0时的解析式．【解】∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x0时，－x0.∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x，即f(x)＝－x2－3x(x0)．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋3x－1，求f(x)的解析式．【解】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵当x＜0时，－x＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)－1]＝－x2＋3x＋1.又奇函数f(x)在原点有定义，∴f(0)＝0.∴f(x)＝x2＋3x－1，x＞0，0，x＝0，－x2＋3x＋1，x＜0.当函数的某些性质已知，其对应法则未知时，这样的函数叫抽象函数．抽象函数的性质也是抽象的，解决有关问题时，要紧紧围绕抽象的性质，为了使用抽象的性质，一般方法是对性质中的变量进行赋值．定义在R上的函数f(x)，对于任意实数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)≠0，当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值；(2)证明f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；(3)求不等式f(x)1f（2x－4）的解集．【解】(1)令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(1＋0)＝f(1)f(0)，∵f(1)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：当x0时，－x0，由f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，f(－x)1得f(x)0，∴对于任意实数x，f(x)0，设x1x2，则x2－x10，f(x2－x1)1，∵f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)f(x1)，∴函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．(3)∵ƒ(0)＝1，∴1f（2x－4）＝f（0）f（2x－4）.又ƒ(0)＝f[(2x－4)＋(－2x＋4)]＝f(2x－4)f(－2x＋4)，∴f(x)1f（2x－4）＝f(－2x＋4)．由(2)可得：x－2x＋4，解得x43，所以原不等式的解集是－∞，43.二次函数应用十分广泛，往往与二次方程及二次不等式联系起来．解此类问题应注意分类讨论思想、数形结合思想．若函数ƒ(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，ƒ(x)＝x2＋2x.(1)写出函数ƒ(x)(x∈R)的解析式；(2)若函数g(x)＝ƒ(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值．【解】(1)ƒ(x)＝x2－2x，x0，x2＋2x，x≤0.(2)当x∈[1，2]时，g(x)＝ƒ(x)－2ax＋2＝x2－2(a＋1)x＋2，其对称轴方程为x＝a＋1.当a＋1≤1，即a≤0时，g(x)的最小值为g(1)＝1－2a；当1a＋12，即0a1时，g(x)的最小值为g(a＋1)＝－a2－2a＋1；当a＋1≥2，即a≥1时，g(x)的最小值为g(2)＝2－4a.综上，g(x)min＝1－2a，a≤0，－a2－2a＋1，0a1，2－4a，a≥1.1．函数f(x)＝11－x＋1＋x的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1，1)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：由题意知，1＋x≥0且1－x≠0，解得x≥－1且x≠1，即定义域是[－1，1)∪(1，＋∞)．答案：B2．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝1－x2x2(x≠0)，则f12等于()A．1B．3C．15D．30解析：g(x)＝12＝1－2x，x＝14，f12＝1－142142＝15.答案：C3．若函数ƒ(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝ƒ(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为()A．±1B．－1C．1D．0解析：∵ƒ(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，∴ƒ(－x)＝ƒ(x)，即(1－ax)(－x－a)＝(ax＋1)(x－a)，∴(1－a2)x＝0，∵x不恒为0，∴1－a2＝0，∴a＝±1.当a＝1时，ƒ(x)＝x2－1，且在x∈(0，＋∞)上单调递增；当a＝－1时，ƒ(x)＝1－x2，且在(0，＋∞)上单调递减，不合题意，舍去．故a＝1.答案：C4．函数f(x)＝x2－2mx与g(x)＝mx＋3x＋1在区间[1，2]上都是减函数，则m的取值范围是()A．[2，3)B．[2，3]C．[2，＋∞)D．(－∞，3)解析：∵f(x)在区间[1，2]上是减函数，∴m≥2，g(x)＝m（x＋1）＋3－mx＋1＝m＋3－mx＋1，又∵g(x)在[1，2]上是减函数，∴3－m0，m3，综上，2≤m3.答案：A5．设函数f(x)对任意x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)等于()A．－2B．±12C．±1D．2解析：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)．因为f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4，所以f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.答案：A