2019-2020学年高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性课件 北师大版必修1

第二章函数§3函数的单调性自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|理解函数的单调性、最大(小)值的概念，掌握判断；和证明一些简单函数单调性的方法.1．在函数y＝f(x)的__________的一个区间A上，如果对于______两数x1，x2∈A，当______时，都有____________，那么，就称函数y＝f(x)在__________是______的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是______的．2．在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于______________________，当______时，都有____________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是______的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是______的．定义域内任意x1＜x2f(x1)＜f(x2)区间A上增加递增任意两数x1，x2∈Ax1＜x2f(x1)＞f(x2)减少递减练一练：若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)f(b)，则a与b的大小关系是________．答案：ab3．如果y＝f(x)在区间A上是________或________，那么称A为__________．4．如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有________．增加的减少的单调区间单调性练一练：[0，3]是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)f(2)，则函数f(x)在区间[0，3]上()A．是增函数B．是减函数C．不是增函数就是减函数D．增减性不能确定答案：D5．如果函数y＝f(x)在______________是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为__________．整个定义域内单调函数1．理解函数的单调性应注意哪些问题？答：(1)单调性是函数在定义域内的“局部”性质，即必须在定义域内的某个区间内研究．(2)定义中的x1，x2具有任意性，不能通过取特殊值来替换．(3)也可利用“x1＞x2时，f(x1)＞f(x2)”来说明函数在某个区间上是递增的；用“x1＞x2时，f(x1)＜f(x2)”来说明递减．(4)“x1＜x2”、“f(x1)＜f(x2)”及“f(x)是递增的”这三者中，知道其中某两个关系即可得第三个．递减的函数也具有类似性质．(5)一个函数具有多个单调区间时，不能用并集符号“∪”，可用“，”隔开区间．如函数y＝1x的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．2．定义法证明单调性的一般步骤是什么？答：(1)取值：任取x1，x2∈M且x1＜x2.(2)作差：即整理f(x1)－f(x2)，可通过因式分解、配方、通分、分母有理化等方法变形，直到利于判断差的符号为止．(3)判断差的符号．(4)作结论．典例精析规律总结2课堂互动探究如图，两图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像，试写出函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调增区间．【解】函数f(x)的单调增区间为：[1，4)，[4，6]．函数g(x)的单调增区间为：－3π2，0，3π2，5π2.【方法总结】借助图像直观写出单调区间，注意区间端点能否取到，多个单调区间可用逗号隔开，一般不能用“∪”．作出函数f(x)＝－x－3，x≤1，（x－2）2＋3，x1的图像，并指出函数f(x)的单调区间．解：f(x)＝－x－3，x≤1，（x－2）2＋3，x1的图像如图所示．由图可知，函数f(x)＝－x－3，x≤1，（x－2）2＋3，x1的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调增区间为[2，＋∞).判断函数ƒ(x)＝x＋1x在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．【解】函数ƒ(x)＝x＋1x在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则ƒ(x1)－ƒ(x2)＝x1＋1x1－x2＋1x2＝(x1－x2)＋1x1－1x2＝(x1－x2)1－1x1x2，∴当0x1x21时，0x1x21，∴1x1x21，∴1－1x1x20，又∵x1－x20，∴ƒ(x1)－ƒ(x2)0，即ƒ(x1)ƒ(x2)，∴ƒ(x)＝x＋1x在(0，1)上单调递减；当x2x11时，x1x21，∴1x1x21，∴1－1x1x20.又x1－x20，∴ƒ(x1)－ƒ(x2)0，即ƒ(x1)ƒ(x2)，∴ƒ(x)＝x＋1x在(1，＋∞)上单调递增．【方法总结】按取值、作差、判断符号、下结论的步骤进行证明．变形是关键，常用方法有：因式分解、配方、分子(母)有理化、通分等．已知函数f(x)＝x2＋1x.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}．(2)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋1x1－x22＋1x2＝(x1＋x2)(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)x1＋x2－1x1x2.由于x1≥2，x2≥2，且x1x2，∴x1－x20，x1＋x21x1x2，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．设f(x)是定义在(0，＋∞)内的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(3)＝1，且f(a)＞f(a－1)＋2，求a的取值范围．【解】∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，∴f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2f(3)＝2.又f(a)＞f(a－1)＋2，∴f(a)＞f(a－1)＋f(9)，即f(a)＞f[9(a－1)]．由单调函数的概念得a＞0，9（a－1）＞0，a＞9（a－1），解得1＜a＜98.故a的取值范围是1＜a＜98.【方法总结】抽象函数单调性问题，利用已知条件，把多个函数值和差的不等式转化为两个函数值的大小关系，利用单调性，转化为自变量的关系．要注意定义域对字母取值的影响．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且f(1－a)＋f(1－2a)0，若f(x)是(－1，1)上的减函数，求实数a的取值范围．解：由f(1－a)＋f(1－2a)0，得f(1－a)－f(1－2a)．∵f(－x)＝－f(x)，x∈(－1，1)，∴f(1－a)f(2a－1)．又∵f(x)是(－1，1)上的减函数，∴－11－a1，－11－2a1，1－a2a－1，解得0a23.故实数a的取值范围是0，23.已知f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)f(1－3x)，求x的取值范围．【错解】∵f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)f(1－3x)，∴x－11－3x，解得x12.【错因分析】学生解此题时，只注意到了函数的单调性，未考虑函数的定义域，导致所求结果范围变大．【正解】∵f(x)是定义在[－1，1]上的增函数且f(x－1)f(1－3x)，∴－1≤x－1≤1，－1≤1－3x≤1，x－11－3x，即0≤x≤2，0≤x≤23，x12，解得0≤x12.∴x的取值范围是0≤x12.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．ƒ(x)＝x2－xB．ƒ(x)＝1xC．ƒ(x)＝1－xD．ƒ(x)＝|x|答案：D2.如图，已知函数y＝f(x)的图像，则函数的单调减区间为________．解析：从图像上可以看出y＝f(x)在－∞，－32，[0，＋∞)分别递减，∴其递减区间为－∞，－32，[0，＋∞)．答案：－∞，－32，[0，＋∞)3．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[4，＋∞)上是递增的，那么实数a的取值范围是()A．a≤3B．a≥－3C．a≤5D．a≥5解析：由题意知，－2（a－1）2≤4，解得a≥－3.答案：B4．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(4m＋5)＞f(－m)，则实数m的取值范围是________．解析：∵y＝f(x)在R上单调递增，且f(4m＋5)＞f(－m)，∴4m＋5＞－m，即m＞－1.答案：(－1，＋∞)5．已知函数ƒ(x)＝x＋ax＋b(ab0)，判断ƒ(x)在(－b，＋∞)上的单调性，并证明．解：ƒ(x)＝x＋ax＋b＝x＋b＋a－bx＋b＝1＋a－bx＋b.∵ab0，∴a－b0，∴ƒ(x)在(－b，＋∞)上单调递减．证明：设x1，x2∈(－b，＋∞)，且x1x2，则ƒ(x1)－ƒ(x2)＝a－bx1＋b－a－bx2＋b＝（a－b）（x2－x1）（x1＋b）（x2＋b）.∵－bx1x2，ab0，∴a－b0，x2－x10，x1＋b0，x2＋b0，∴ƒ(x1)－ƒ(x2)0，即ƒ(x1)ƒ(x2)，∴ƒ(x)在(－b，＋∞)上单调递减．