2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2-4 二项分布课件 北师大版选修2-3

第1页§4二项分布第2页1．n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．在n次独立重复试验中“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验的结果．第3页3．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数是X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，其中k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．Cnkpk(1－p)n－k是[p＋(1－p)]n的二项展开式中的第k＋1项．第4页1．独立重复试验的判断(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．第5页2．二项分布的判断(1)在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一．(2)事件A在每次试验中，发生的概率相同．(3)试验重复地进行了n次(n≥2)，且每次试验结果互不影响．第6页3．二项分布问题(1)随机变量X服从二项分布，则X的分布列为：X01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn－1…Cnkpkqn－k…Cnnpnq0(2)由于Cnkpkqn－k恰好是二项展开式(p＋q)n＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋…＋Cnkpkqn－k＋…＋Cnnpnq0中第k＋1项(这里k可取0，1，2，…，n)中各个值，所以称这样的随机变量X服从二项分布．第7页(3)利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．第8页课时学案第9页题型一独立重复试验例1某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．第10页【思路】由于“每次射击击中目标”这一事件中各次射击的结果互不影响，因此它们之间是相互独立的．射击n次，即为n次独立重复试验．解答本题的关键是要注意“恰有k次发生”和“某指定的k次发生”的差异．第11页【解析】(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C53种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型．故所求概率为P＝C53×(35)3×(1－35)2＝216625.第12页(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C31种情况．故所求概率为P＝C31·(35)3·(1－35)2＝3243125.第13页探究1独立重复试验也叫贝努利试验，它的特征有两个：一是在相同条件下，独立地进行n次重复试验；二是每次试验只有两种可能结果：A或A－.在n次试验中，事件A出现了k次的概率为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k.第14页◎思考题1在人寿保险事件中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：(1)全部活到65岁的概率；(2)有2个活到65岁的概率；(3)有1个活到65岁的概率；(4)都活不到65岁的概率．第15页【思路】由题目可获取以下主要信息：①投保人的死亡是相对独立的；②每个投保人能活到65岁的概率为0.6.解答本题可先把3个投保人的寿命看作相当于3次独立重复试验，再由概率公式可得结果．第16页【解析】设A＝{投保人能活到65岁}，则A－＝{投保人活不到65岁}，P(A)＝p＝0.6，所以P(A－)＝1－p＝1－0.6＝0.4.第17页3个投保人活到65岁的人数X相当于3次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(3，0.6)．(1)P(X＝3)＝C33·0.63·(1－0.6)0＝0.216；(2)P(X＝2)＝C32·0.62·(1－0.6)1＝0.432；(3)P(X＝1)＝C31·0.61·(1－0.6)2＝0.288；(4)P(X＝0)＝C30·0.60·(1－0.6)3＝0.064.第18页【点评】解决此类问题的关键是正确设出独立重复试验中的事件A，接着分析随机变量是否满足独立重复试验概型的条件，若是，利用公式P(ξ＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k计算便可．第19页题型二二项分布的应用例2某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．第20页【思路】3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数X，故符合二项分布．第21页【解析】由题意可知：X～B(3，34)，所以P(X＝k)＝C3k(34)k·(14)3－k，k＝0，1，2，3.分布列为X0123P16496427642764第22页【点评】二项分布问题主要体现在有放回的n次独立重复试验中，如：掷硬币，有放回地取球、射击、投篮等模型，解题时应具体问题具体分析，切勿直接套用公式．第23页探究2利用二项分布解题注意事项：(1)利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．第24页(2)解决这类实际问题往往需要把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．在解题时，还要注意概率的加法公式、乘法公式、“正难则反”思想(利用对立事件求概率)的灵活运用．第25页◎思考题2某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为5%(即每件为次品的概率)．现从一批产品中任意连续地抽取出2件，其中次品数ξ的概率分布是ξ012P请完成上表．第26页【解析】由于每件产品的次品率为5%，则连续取出2件就相当于2次独立重复试验，即题中次品数ξ服从二项分布．由题意可知ξ～B(2，5%)，则P(ξ＝0)＝C20(5%)0·(95%)2＝0.9025；P(ξ＝1)＝C21(5%)1(95%)1＝0.095；P(ξ＝2)＝C22(5%)2(95%)0＝0.0025.所以，所求随机变量ξ的分布列为ξ012P0.90250.0950.0025第27页【点评】二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布的模型，可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体概率值的过程，因此我们应熟练掌握二项分布，利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．第28页例3甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的2倍．(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；第29页(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，求它是一等品的概率；(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求X的分布列．第30页【解析】(1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8.所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为P1＝1－P(A－)P(B－)P(C－)＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976.第31页(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，它是一等品的概率为P2＝2×0.7＋0.6＋0.84＝0.7.第32页(3)依题意抽取的4件样品中一等品的个数X的可能取值为0，1，2，3，4，则P(X＝4)＝C44×0.74＝0.2401，P(X＝3)＝C43×0.73×0.3＝0.4116，P(X＝2)＝C42×0.72×0.32＝0.2646，P(X＝1)＝C41×0.7×0.33＝0.0756，P(X＝0)＝C40×0.34＝0.0081.第33页∴X的分布列为X43210P0.24010.41160.26460.07560.0081第34页探究3解此类题首先判断随机变量是否服从二项分布：一般地，如果n个相互独立的试验具备相同的条件，在这相同的条件下只有两个结果(A和A－)，且P(A)相同，那么即可建立二项分布的概率模型．其次计算P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.最后区别问题的不同情形计算相应的概率写出答案．第35页◎思考题3现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．第36页【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，则P(Ai)＝C4i13i234－i.第37页(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C42·132232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C4313323＋C44134＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.第38页(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝827，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝4081，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝1781.第39页所以ξ的分布列是ξ024P82740811781【答案】(1)827(2)19(3)见解析第40页课后巩固第41页1．若ξ～B(10，12)，则P(ξ≥2)＝()A.111024B.501512C.10131024D.507512答案C解析由ξ～B(10，12)可知，P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－C100(12)10－C101(12)10＝10131024.第42页2．有5粒种子，每粒种子发芽的概率均为98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是()A．0.984×0.02B．0.98×0.24C．C54×0.984×0.02D．C54×0.98×0.024答案C解析由于5粒种子，其发芽是相互独立的，每粒种子相当于一次试验，共做了5次试验，故所求概率为P＝C54(0.98)4×0.02.第43页3．将一枚硬币连掷