2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2-3-2 事件的相互独立性课件 北师大版选修2-3

第1页§3条件概率与独立事件第二课时事件的相互独立性第2页1．定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．2．如果A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也都相互独立．3．如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．第3页4．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆．第4页1．对相互独立事件定义的理解对于事件A、B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B相互独立．第5页2．公式拓展如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．即P(A1A2A3…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．第6页3．判定相互独立事件的方法(1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A、B独立．(2)有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立．第7页4．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别对于事件A、B，在一次试验中，A、B如果不能同时发生，那么称A、B互斥．一次试验中，如果A、B两个事件互斥且A、B中必然有一个发生，那么称A、B对立，显然A＋B为一个必然事件．A、B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生．如掷一枚骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B，则A、B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．第8页A、B互斥，则P(AB)＝0；A、B对立，则P(A)＋P(B)＝1.A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．第9页4．相互独立事件性质的推导如果A与B相互独立，那么A与B－、A－与B、A－与B－也都相互独立．证明：∵事件A与B相互独立，∴P(AB)＝P(A)·P(B)．∵P(AB－)＋P(AB)＝P(A)，P(B)＋P(B－)＝1，∴P(AB－)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)·P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)·P(B－)．第10页∴A与B－相互独立．你能自己写出P(A－B)＝P(A－)·P(B)，P(A－B－)＝P(A－)P(B－)的推证过程吗？第11页课时学案第12页题型一相互独立事件的判断例1把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}；②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}；③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}；④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．第13页【解析】①∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝0，∴A与B不独立．②∵P(A)＝12，P(B)＝16，P(AB)＝0，∴A与B不独立．第14页③∵P(A)＝12，P(B)＝13，P(AB)＝16，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A与B独立．④∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝16，∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A与B不独立．第15页【点评】事实上①组为对立事件，②组为互斥事件，③组为独立事件，但不互斥，④组既不互斥也不独立．由此可知，独立事件一定不互斥，互斥事件一定不独立．第16页探究1如何判定两事件相互独立：(1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A、B相互独立，即如果A、B同时成立时的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，那么可得出事件A、B为相互独立事件．(2)有些事件根本没有必要通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，掷5次同一枚硬币等等，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出相互独立与否．第17页◎思考题1从一副抽去大小王的扑克牌(共52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，C＝“抽到J”，判断下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.第18页【解析】(1)由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件，以下考虑他们是否互为独立事件：抽到老K的概率为P(A)＝452＝113，抽到红牌的概率P(B)＝2652＝12，故P(A)P(B)＝113×12＝126，事件A·B即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”故P(A·B)＝252＝126，从而有P(A)·P(B)＝P(A·B)，因此A与B互为独立事件．第19页(2)从一副牌(52张)中任取一张，抽到老K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到老K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥，又抽不到老K不一定抽到J，故A与C并非对立事件．第20页题型二相互独立事件及互斥事件的概率例2制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．(1)两件都是正品的概率；(2)两件都是次品的概率；(3)恰有一件正品的概率．第21页【解析】记“从甲机床抽取正品”为事件A，“从乙机床抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C，由题意知A，B是相互独立事件，(1)P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.90×0.80＝0.72；(2)P(A－B－)＝P(A－)·P(B－)＝0.10×0.20＝0.02；(3)P(C)＝P(AB－)＋P(A－B)＝P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.第22页探究2互斥事件，对立事件，相互独立事件的区别有哪些：对于事件A、B，在一试验中，若A、B不能同时发生，则称A、B互斥．一次试验中，若A、B两个事件互斥且A、B中必然有一个发生，则称A、B对立．显然A＋A－为一个必然事件．A、B互斥则不能同时发生，但可能同时都不发生．如掷一枚骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B，则A、B可能都不发生，而掷出的点数可能为5.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．第23页◎思考题2甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．第24页【解析】记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A－与B，A－与B－为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为：P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.第25页(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件AB－发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A－B发生)．根据题意，事件AB－与A－B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(AB－)＋P(A－B)＝P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.第26页(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都射中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(AB－)＋P(A－B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为：P＝P(A－B－)＋P(AB－)＋P(A－B)＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.第27页例3甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．第28页【思路】解答本题可先分甲、乙能答对2题，3题计算出甲、乙两人考试合格的概率，再分情况求至少一人考试合格的概率．【解析】(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝C62·C41＋C63C103＝60＋20120＝23，P(B)＝C82·C21＋C83C103＝56＋56120＝1415.第29页(2)由题意知事件A、B相互独立．方法一：“甲、乙两人考试均不合格”即事件A－B－发生．因为P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝(1－23)(1－1415)＝145，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(A－B－)＝1－145＝4445.第30页方法二：“甲、乙两人考试至少一人合格”即事件AB－、A－B、AB有一个发生，且AB－、A－B、AB彼此互斥．所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(AB－)＋P(A－B)＋P(AB)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＋P(A)P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445.故甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率为4445.第31页探究3求P(AB)时注意事件A、B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A、B是否互斥．对于“至多”，“至少”型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利用P(A－)＝1－P(A)来运算．第32页◎思考题3某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．第33页【思路】记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，ABC表示三人都合格，A－B－C－表示三人都不合格，依题意即可求出(1)(2)，对于问题(3)要明白“出现几人合格的概率”表示可能没有，可能有一个，可能有两个也可能有三个．第34页【解析】记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)．(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110.第35页(2)三人都不合格的概率：P0＝P(A－B－C－)＝P(A－)·P(B－)·P(C－)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.第36页综合(1)(2)(3)可知P1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大.第37页自助餐第38页1．相互独立事件同时发生的概率(1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序是：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求其积．第39页(3)在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)、P(