2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2 超几何分布课件 北师大版选修2-3

[自主梳理]一、超几何分布的概率一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件是次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为__________的超几何分布．N、M、nCkMCn－kN－MCnN二、超几何分布列X01…mPC0MCnN－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中，m是n和M中较小的一个．1．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)[双基自测]解析：15个村庄中有7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C47C68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝C47C68C1015.C2．从装有3个红球、2个白球的盒子中任取两个球，则恰有一个红球的概率为()A．0.6B．0.2C．0.3D．0.4A解析：P＝C13·C12C25＝610＝0.6.3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是________．解析：依超几何分布的数学模型及计数公式，知①②中的变量不服从超几何分布，③④中的变量服从超几何分布．③④探究一超几何分布概率公式的简单应用[例1]高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球就中一等奖，求中一等奖的概率．[解析]若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布．由公式得P(X＝4)＝C410C5－420C530＝70023751≈0.0295，所以中一等奖的概率约为2.95%.1．解决此类问题的关键是先判断出所给问题是否属于超几何分布问题，是超几何分布问题可直接利用公式求解，当数字较大时，需利用计算器求值．2．超几何分布是一种很重要的概率模型，应用它可避免不必要的重复计算．应用公式的关键是正确确定M、N、n、k.1．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率．解析：设选出的女同学的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝C14C26C310＋C24C16C310＋C34C06C310＝56或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C04C36C310＝56.探究二超几何分布的分布列[例2]从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，求ξ的分布列及P(ξ＜2)．[解析]由题意分析可知，随机变量ξ服从超几何分布．其中N＝8，M＝3，n＝3，所以P(ξ＝0)＝C35C03C38＝528，P(ξ＝1)＝C25C13C38＝1528，P(ξ＝2)＝C15C23C38＝1556，P(ξ＝3)＝C05C33C38＝156.从而随机变量ξ的分布列为：ξ0123P52815281556156所以P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝528＋1528＝57.根据题目条件判断出随机变量是否服从超几何分布是解题的关键，若服从超几何分布，则可由公式求其分布列．2．从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率．解析：(1)ξ可能的取值为0,1,2，P(ξ＝k)＝Ck2·C3－k5C37，k＝0,1,2.故ξ的分布列为：ξ012P274717(2)由(1)知“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝27＋47＝67.探究三超几何分布的实际应用[例3]在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．[解析](1)由条件知，P＝1－C04C26C210＝1－1545＝23(或P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23)，即该顾客中奖的概率为23.(2)X的所有可能取值(单位：元)为0,10,20,50,60，且P(X＝0)＝C04C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25，P(X＝20)＝C23C210＝115，P(X＝50)＝C11C16C210＝215，P(X＝60)＝C11C13C210＝115.故X的分布列为：X010205060P1325115215115此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键．3．已知袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6的概率．解析：(1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135.故所求分布列为：X5678P43518351235135(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6的概率为P(X6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235＋135＝1335.排列、组合在概率分布列中的应用[典例]在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．用X表示笼内还剩下的果蝇的只数．(1)写出X的分布列；(2)求P(X≥4)．[解析](1)随机变量X的所有取值为0,1,2,3,4,5,6.试验相当于把8只不同的蝇子排成一列，有A88种排列方法．由题意得P(X＝0)＝C12A77A88＝14，P(X＝1)＝C12C16A66A88＝314，P(X＝2)＝C12C15A66A88＝528，P(X＝3)＝C12C14A66A88＝17，P(X＝4)＝C12C13A66A88＝328，P(X＝5)＝C12C12A66A88＝114，P(X＝6)＝C12C11A66A88＝128.故随机变量X的分布列为：X＝i0123456P(X＝i)1431452817328114128(2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝328＋114＋128＝314.[感悟提高]1.对于不符合我们所学习的典型分布列的问题，首先考虑能否化为典型分布列，若不能，一般通过利用排列、组合的方法求其概率和分布列．2．注意分清是排列问题，还是组合问题，准确计算随机变量取各个值时的概率．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．求X的分布列．解析：X的可能取值有：3,4,5,6.P(X＝3)＝C35C39＝542；P(X＝4)＝C25C14C39＝2042＝1021；P(X＝5)＝C15C24C39＝1542＝514；P(X＝6)＝C34C39＝242＝121.故所求X的分布列为：X3456P5421021514121