2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末总结课件 新人教A版必修2

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点,那么这条直线与这个平面有且只有一个交点.()√2.如果两个平面有一个交点,则这两个平面有一条过这个点的公共直线.()3.如果两个平面平行,则这两个平面没有交点.()4.若一条直线上有两个点在某一平面内,则这条直线上有无数个点在这个平面内.()5.平行于同一条直线的两个平面平行.()√√√×6.一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线垂直于这个平面.()×7.两个相交平面组成的图形叫做二面角.()8.垂直于同一条直线的两个平面平行.()×√题型探究真题赏析题型探究·素养提升题型一平面基本性质的应用[典例1](2018·南昌八一中学等八校高二期中)如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别为BC,AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,求证:EF,GH,BD交于一点.证明:连接AC,因为E,H分别为BC,AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,所以HE∥AC,GF∥AC,所以HE∥GF,则E,F,G,H四点共面,而HG与EF不平行,不妨设EF,HG交于点P,所以P∈平面BCD,且P∈平面ABD,而平面BCD∩平面ABD=BD,所以P∈BD,所以EF,GH,BD交于一点.规律方法(1)证明共面问题证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合.(2)证明三点共线问题证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,当然必在两个平面的交线上.(3)证明三线共点问题证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.题型二空间中的平行关系[典例2]已知:如图在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,E,F是PD的三等分点,H为PC的中点.求证:(1)BE∥平面ACF;证明:(1)连接BD,设BD∩AC=O,连接OF,因为F为DE的中点,O为BD的中点,所以OF∥BE,又OF⊂平面ACF,BE⊄平面ACF,所以BE∥平面ACF.(2)BH∥平面ACF.证明:(2)连接HE,因为E为PF的中点,H为PC的中点,所以EH∥FC,因为FC⊂平面ACF,HE⊄平面ACF,所以HE∥平面ACF,又BE∥平面ACF,BE⊂平面BHE,HE⊂平面BHE且BE∩HE=E,所以平面BHE∥平面ACF,又BH⊂平面BHE,故BH∥平面ACF.规律方法(1)判断线面平行的两种方法面面平行的落脚点是线面平行,因此掌握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的两种方法:①利用线面平行的判定定理;②利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一个平面.(2)判断面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理,②面面平行的传递性(α∥β,β∥γ⇒α∥γ),③利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β⇒α∥β)题型三空间中的垂直关系[典例3](2018·齐齐哈尔高一期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,∠BAC=∠BCA=12∠ABC,点E是A1B与AB1的交点,点D在线段AC上,B1C∥平面A1BD.(1)求证:BD⊥A1C;证明:(1)连接ED,因为平面AB1C∩平面A1BD=ED,B1C∥平面A1BD,所以B1C∥ED,因为E为AB1中点,所以D为AC中点;因为∠BAC=∠BCA=12∠ABC,所以AB=BC,所以BD⊥AC,由A1A⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,得A1A⊥BD由A1A,AC是平面A1ACC1内的两条相交直线,得BD⊥平面A1ACC1,因为A1C⊂平面A1ACC1,故BD⊥A1C.(2)求证:AB1⊥平面A1BC.证明:(2)由(1)知AB=BC,AB⊥BC,因为BB1=BC,所以四边形ABB1A1是菱形,所以AB1⊥A1B,因为BB1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC.所以BC⊥BB1因为AB∩BB1=B,AB,BB1⊂平面ABB1A1.所以BC⊥平面ABB1A1.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AB1,因为BC∩A1B=B,BC,A1B⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.规律方法空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法:①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角);②线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b).(2)判定线面垂直的方法:①线面垂直定义(一般不易验证任意性);②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=M⇒a⊥α);③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α⇒a⊥α);④面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α);⑤面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);⑥面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法:①根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90°);②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).题型四空间角问题[典例4](2017·天津卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(1)解:如图,由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得AP=22ADPD=5,故cos∠DAP=ADAP=55.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)求证:PD⊥平面PBC;(2)证明:由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC.(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(3)解:过点D作DF∥AB,交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC,所以PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1.由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC.在Rt△DCF中,可得DF=22CDCF=25,在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=PDDF=55.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.规律方法求角度问题时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上,求角度的解题步骤是:(1)找出这个角;(2)证该角符合题意;(3)构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.空间角包括以下三类:①两条异面直线所成的角,找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影.③求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.题型五空间几何体中的体积计算[典例5](2018·合肥期末)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AF=2AD(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,使点E到达点G的位置,连接BG,BF,CG(如图2),且AB⊥GD.(1)证明:AC∥平面BFG;(1)证明:取DG中点M,连接AM,CM,可得AM∥FG,CM∥BF,又AM∩CM=M,FG∩BF=F,所以平面ACM∥平面BFG,所以AC∥平面BFG.(2)当AB=DG=2,求三棱锥A-BCG的体积.(2)解:由AB⊥DG,AD⊥DG,且AB∩AD=A,可得DG⊥平面ABCD,又AB=DG=2,所以S△ABC=12×2×1=1,所以ABCGV=GABCV=13·S△ABC·|DG|=23.规律方法(1)求空间几何体的体积的关键是确定几何体的高,若几何体的高容易求出,可直接代入体积公式计算,否则可用下列方法进行转化:①等体积转化法:对于三棱锥因为任何一个面都可作为底面,所以在求三棱锥的体积时,可将其转化为底面积和高都易求的形式求解.②补体法:将几何体补成易求体积的几何体,再根据它们的体积关系求解.③分割法:将几何体分割为易求体积的几部分,分别求解再求和.(2)有关平面图形翻折成空间图形的问题,应注意翻折前后各元素(直线、线段、角)的相对位置(平行、垂直)和数量的变化,搞清楚哪些发生了变化、哪些不变.题型六易错辨析[典例6]如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的点,且AE=C1F.求证:四边形EBFD1是平行四边形.错解:因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1,D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E,BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E,所以D1E∥FB.同理可得D1F∥EB.所以四边形EBFD1是平行四边形.纠错:错解中盲目地认为E,B,F,D1四点共面,由已知条件并不能说明这四点共面,同时条件AE=C1F也没有用到.正解:在棱BB1上取一点G,使B1G=C1F=AE,连接A1G,GF(图略),则GFB1C1A1D1,所以四边形GFD1A1为平行四边形,所以A1GD1F.因为A1E=AA1-AE,BG=B1B-B1G,AA1BB1,所以A1EBG,所以四边形EBGA1为平行四边形,所以A1GEB.所以D1FEB,所以四边形EBFD1是平行四边形.真题赏析·素养升级1.(2017·全国Ⅲ卷,文10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()(A)A1E⊥DC1(B)A1E⊥BD(C)A1E⊥BC1(D)A1E⊥AC解析:如图,由题意可知A1E⊂平面A1B1CD,可以证明BC1⊥平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故选C.C2.(2017·全国Ⅱ卷,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()C(A)32(B)155(C)105(D)33解析:如图,以B为坐标原点,BA所在直线为x轴,BB1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,0,1),C1(-12,32,1),所以1AB=(-2,0,1),1BC=(-12,32,1),所以cos1AB,1BC=1111ABBCABBC=10152=210=105.故选C.解析:①可能有m⊥β,即α∥β,得①错,②③④正确.答案:②③④3.(2016·全国Ⅱ卷,理14)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)证明:(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.4.(2018·江苏卷,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;证明:(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.(1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.又BA⊥AD,AC