2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1-2.2 空间中直线

知识点一空间两直线的位置关系1．空间中两条直线的位置关系2．异面直线(1)定义：把不同在____平面内的两条直线叫作异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)任一1．异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．2．不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．知识点二平行公理与等角定理1．平行公理(公理4)与等角定理(1)平行公理①文字表述：平行于同一条直线的两条直线____．这一性质叫作空间________．②符号表述：a∥bb∥c⇒____.(2)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应____，那么这两个角____或____．平行平行公理a∥c平行相等互补2．异面直线所成的角θ(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____(或____)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：0°α≤90°.(3)当θ＝____时，a与b互相垂直，记作____.锐角直角90°a⊥b1．异面直线所成角的范围是0°θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．2．公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．()×√××2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.答案：D3．设α为两条异面直线所成的角，则α满足()A．0°α90°B．0°α≤90°C．0°≤α≤90°D．0°α180°解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B.答案：B4．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，BB′∥AA′，DD′∥AA′，则BB′与DD′的位置关系是________．解析：由公理4知，BB′∥DD′.答案：平行类型一公理4的应用例1如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．【证明】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綊C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊FD.又B1E綊C1Q，∴B1E綊FD，∴四边形B1EDF为平行四边形.公理4主要用于证明直线平行，只要找到一条直线与两条直线都平行，就可以证明两条直线互相平行，除了公理4，利用平面几何知识也可以证明线线平行．方法归纳证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．(2)利用公理4，即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由公理4得到a∥b.跟踪训练1已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23.求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等．证明：如图所示．由已知得EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH＝12BD.在△BCD中，CFCB＝CGCD＝23，所以FG∥BD，FG＝23BD.根据公理4，知EH∥FG，又FGEH，所以四边形EFGH有一组对边平行但不相等．由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化．类型二等角定理及其应用例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.【证明】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四边形F1MBC为平行四边形．∴BM∥CF1.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.要证明∠EA1F＝∠E1CF1，可证明A1F∥CF1，A1E∥CE1且射线A1E与CE1，射线A1F与CF1的方向分别相反．方法归纳(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．(2)证明角相等，一般采用三种途径①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．跟踪训练2在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，所以PN∥BC.①又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，所以A1M綊NC.所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A1N∥MC.②由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.利用空间等角定理证明两角相等的步骤：(1)证明两个角的两边分别对应平行；(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反．类型三求异面直线所成的角例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的角的大小．【解析】方法一如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法二如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊12DB1，∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝54，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法三：如图，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN.∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k0)，则MP＝22k，DM＝52k，DP＝32k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k0)，则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.利用中位线作平行线，找出异面直线DB1与EF所成的角即可求解．方法归纳求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解．跟踪训练3如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝25，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA与BC所成的角的大小．解析：如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.同理可得EF∥BC.∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．在△DEF中，DE＝3，又DF＝12PA＝2，EF＝12BC＝5，∴DE2＝DF2＋EF2，∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.平移PA，BC至一个三角形中找出PA和BC所成的角求出此角