2019-2020学年高中数学 第二章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修2-2

[自主梳理]一、函数的平均变化率对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为__________．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作________，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作________．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即__________________．fx2－fx1x2－x1ΔxΔyΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1二、瞬时变化率对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔyΔx＝______________＝______________.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数___________________．fx1－fx0x1－x0fx0＋Δx－fx0Δx在一点处变化的快慢[双基自测]1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)答案：D2．一质点的运动方程为s＝2t2，则此质点在时间[1,1＋Δt]内的平均速度为()A．4＋ΔtB．2＋(Δt)2C．4Δt＋1D．4＋2Δt解析：ΔsΔt＝21＋Δt2－2Δt＝4＋2Δt.答案：D3．函数y＝f(x)＝3x2－2x－8在x1＝3处有增量Δx＝0.5，则f(x)从x1到x1＋Δx的平均变化率为________．解析：Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝f(3＋Δx)－f(3)＝f(3.5)－f(3)＝8.75，所以ΔyΔx＝8.750.5＝17.5.答案：17.5探究一平均变化率问题[例1]求函数y＝2x2＋5在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率；并计算当Δx＝12时，平均变化率的值．[解析]因为Δy＝2×(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)＝8Δx＋2(Δx)2，所以平均变化率为ΔyΔx＝8＋2Δx.当Δx＝12时，平均变化率的值为8＋2×12＝9.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增加Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.1．已知一次函数y＝kx＋b，求其在区间[m，n]上的平均变化率．解析：ΔyΔx＝fn－fmn－m＝kn＋b－km－bn－m＝k，∴函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为k.探究二求瞬时变化率[例2]质点M按规律s(t)＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t＝2s时的瞬时速度．[解析]当t从2s变到(2＋Δt)s时，函数值从2×22＋3×2变到2(2＋Δt)2＋3(2＋Δt)，函数值s(t)关于t的平均变化率为s2＋Δt－s2Δt＝22＋Δt2＋32＋Δt－2×22＋3×2Δt＝2Δt＋11(cm/s)．当t趋于2s，即Δt趋于0s时，平均速度趋于11cm/s，所以质点M在t＝2s时的瞬时速度为11cm/s.1．Δt趋近于0，是指时间间隔Δt越来越小，能取任意小的时间间隔，但始终不能为零．2．Δt在变化中越趋近于0，Δy与Δx的比值趋近于一个确定的常数．2．求y＝x在x＝1处的瞬时变化率．解析：Δy＝1＋Δx－1，ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1.当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于12，故函数在x＝1处的瞬时变化率为12.对两“变化率”理解错误而致误[例3]若一物体的运动方程如下(位移单位：m；时间单位：s)：s＝3t2＋2，t≥3，①29＋3t－32，0≤t＜3.②求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0.[解析](1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝s0＋Δt－s0Δt＝29＋30＋Δt－32－29－30－32Δt＝3Δt－18，所以物体在t＝0时的瞬时速度为－18m/s.即物体的初速度v0为－18m/s.[错因与防范]解答(1)时易出现用t＝5与t＝3时的瞬时速度的平均值来求平均速度；解答(2)时易颠倒s(t0＋Δt)－s(t0)中s(t0＋Δt)和s(t0)的顺序．平均速度应利用位移的改变量与时间段的比值来计算，方法要记牢．解答有关瞬时速度的问题时，需谨记分子与分母的顺序要保持一致，切忌上下颠倒．