2019-2020学年高中数学 第二讲 参数方程 2-2-2 双曲线与抛物线的参数方程课件 新人教A

第2课时双曲线与抛物线的参数方程要点1双曲线的参数方程普通方程参数方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)x＝asecφ，y＝btanφ(φ为参数)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)x＝btanφ，y＝asecφ(φ为参数)要点2抛物线的参数方程普通方程参数方程y2＝2px(p0)x＝y＝(t为参数)y2＝－2px(p0)x＝y＝(t为参数)x2＝2py(p0)x＝y＝(t为参数)x2＝－2py(p0)x＝y＝(t为参数)2pt22pt－2pt22pt2pt2pt22pt－2pt2课时学案题型一写出圆锥曲线的参数方程例1写出下列圆锥曲线的参数方程：(1)x2－y2＝4；(2)y2＝4x.【解析】根据圆锥曲线参数方程的写法可直接写出．(1)x＝2secθ，y＝2tanθ(θ∈[0，2π)且θ≠π2，θ≠3π2)；(2)x＝4t2，y＝4t.思考题1写出下列圆锥曲线的参数方程：(1)x24－y29＝1；(2)x2＝4y.【答案】(1)x＝2secθ，y＝3tanθ(θ为参数，θ∈[0，2π)且θ≠π2，θ≠3π2)(2)x＝4t，y＝4t2(t为参数)题型二双曲线参数方程的应用例2求点M0(0，2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值)．【解析】双曲线方程化为参数方程x＝secθ，y＝tanθ(0≤θ≤2π，且θ≠π2，θ≠3π2)．设双曲线上任一点M(secθ，tanθ)，则|M0M|2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3，当tanθ－1＝0即θ＝π4时，|M0M|2取最小值3，此时有|M0M|＝3，即M0点到双曲线的最小距离为3.思考题2设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.【解析】如图所示，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝tanθ(0≤φ2π)，得(|F1P|·|F2P|)2＝[(secθ＋2)2＋tan2θ]·[(secθ－2)2＋tan2θ]＝(sec2θ＋22secθ＋2＋tan2θ)·(sec2θ－22secθ＋2＋tan2θ)＝(2sec2θ＋1)2－(22secθ)2＝4sec4θ－4sec2θ＋1＝(2sec2θ－1)2.又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.题型三抛物线参数方程的应用例3由抛物线y2＝2x上各点作y轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程(参数形式)．【解析】∵抛物线的方程为y2＝2x，∴可设抛物线上任一点坐标为(2t2，2t)，向y轴作垂线垂足为(0，2t)．∴它们的中点坐标为(t2，2t)．∴中点的轨迹方程为x＝t2，y＝2t(t为参数)．轨迹为一条抛物线．思考题3若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)上，则|PF|等于()A．2B．3C．4D．5【解析】抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)，化为普通方程为y2＝4x，准线为x＝－1，∴|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.【答案】C课后巩固1．参数方程x＝2t2，y＝4t表示的曲线不在()A．x轴上方B．x轴下方C．y轴右方D．y轴左方答案D解析原参数方程可化为y2＝8x，故图象不在y轴左方．2．方程x＝et＋e－t，y＝et－e－t(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支答案B解析原方程可化为x2－y2＝4且x≥2，故选B.3．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程为()A.x＝t12，y＝t－12B.x＝sint，y＝1sintC.x＝cost，y＝1costD.x＝tant，y＝1tant答案D解析∵xy＝1，∴x取非零实数，而A，B，C三个选项中的x的范围有各自的限制，故选D.4．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．答案(2，－4)解析曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由x＋y＝－2y2＝8x得x＝2y＝－4，所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．5．过抛物线y2＝4ax(a0)的顶点，引互相垂直的两条射线OA、OB，求顶点O在AB上的射影H的轨迹方程．解析设抛物线上动点A、B的坐标为(at12，2at1)和(at22，2at2)(t1，t2≠0)，则AB的方程为2x－(t1＋t2)y＋2at1t2＝0.∵OA⊥OB，∴2at1at12·2at2at22＝－1即t1t2＝－4.∴AB的方程为2x－(t1＋t2)y－8a＝0.①过点O与AB垂直的直线OP的方程为(t1＋t2)x＋2y＝0.②由①②消去t1，t2，得x2＋y2－4ax＝0.故所求轨迹为圆心为(2a，0)，半径为2|a|的圆．