2019-2020学年高中数学 第二讲 参数方程 2-2-1 椭圆的参数方程课件 新人教A版选修4-

第二节圆锥曲线的参数方程第1课时椭圆的参数方程要点椭圆的参数方程：普通方程参数方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)(φ为参数)y2a2＋x2b2＝1(ab0)x＝bcosφ，y＝asinφ(φ为参数)课时学案题型一写出椭圆的参数方程例1写出下列椭圆的参数方程．(1)x24＋y25＝1；(2)（x－1）23＋（y＋2）25＝1.【解析】根据椭圆参数方程直接写出．(1)x＝2cosθ，y＝5sinθ(0≤θ2π)；(2)x＝1＋3cosθ，y＝－2＋5sinθ(0≤θ2π)．思考题1写出下列椭圆的参数方程：(1)x29＋y2＝3；(2)(x＋2)2＋（y－1）24＝1.【解析】(1)∵x29＋y2＝3，∴x227＋y23＝1.∴其参数方程为x＝33cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(2)∵(x＋2)2＋（y－1）24＝1，∴令x＋2＝cosθ，y－12＝sinθ.∴x＝－2＋cosθ，y＝1＋2sinθ.∴其参数方程为x＝－2＋cosθ，y＝1＋2sinθ(θ为参数)．题型二椭圆参数方程的应用例2设椭圆x29＋y23＝1的长轴两端点为M、N，点P在椭圆上，求PM与PN的斜率之积．【解析】设P(3cosθ，3sinθ)，∴kPM＝3sinθ3cosθ－3，kPN＝3sinθ3cosθ＋3.∴kPM·kPN＝3sin2θ9cos2θ－9＝3sin2θ－9（1－cos2θ）＝－13.思考题2在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上一个动点，求S＝x＋y的最大值．【解析】本题主要考查曲线的参数方程基本知识，考查运用方程解决数学问题的能力．因椭圆x23＋y2＝1的参数方程为x＝3cosφ，y＝sinφ(φ为参数，0≤φ2π)，故可设动点P的坐标为(3cosφ，sinφ)，其中0≤φ2π.因此S＝x＋y＝3cosφ＋sinφ＝2·(32cosφ＋12sinφ)＝2sin(φ＋π3)．所以，当φ＝π6时，S取得最大值2.题型三利用参数方程研究最值问题例3(高考真题·全国Ⅰ)已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．【解析】(1)由已知可得A(2cosπ3，2sinπ3)，B2cos（π3＋π2），2sin（π3＋π2），C2cos（π3＋π），2sin（π3＋π），D2cos（π3＋3π2），2sin（π3＋3π2），即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52]．思考题3点P(x，y)是椭圆x24＋y2＝1上的任一点，求2x＋y的最大值与最小值．【解析】由椭圆x24＋y2＝1可设椭圆的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ，则2x＋y＝4cosθ＋sinθ＝17sin(θ＋φ)，∴2x＋y的最大值为17，2x＋y的最小值为－17.【点评】椭圆上的动点问题可引入参数方程转化为化一角一函问题求最值.课后巩固1．椭圆x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数，且ab0)，若φ∈[0，2π]，则椭圆上的点(－a，0)对应的φ＝()A．πB.π2C．2πD.3π2答案A解析将椭圆方程化为普通方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∴点(－a，0)对应的φ＝π，故选A.2．点(2，33)对应曲线x＝4cosφ，y＝6sinφ(φ为参数)中参数φ的值为()A．kπ＋π6(k∈Z)B．kπ＋π3(k∈Z)C．2kπ＋π6(k∈Z)D．2kπ＋π3(k∈Z)答案D解析由题意知2＝4cosφ，33＝6sinφ，∴cosφ＝12，sinφ＝32，∴φ＝2kπ＋π3，k∈Z.3．设O是椭圆x＝3cosφ，y＝2sinφ的中心，P是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP的斜率为()A.33B.3C.332D.239答案D解析当φ＝π6时，x＝3cosπ6＝332，y＝2sinπ6＝1，∴kOP＝yx＝1332＝239.4．(2019·皖南十校联考)曲线C1：x＝3t，y＝4＋4t与C2：x＝cosθ，y＝4sinθ(0≤θ≤π)的交点对应的θ值为()A.π6或π3B.π6或π2C．0或π2D.5π6或π2答案D解析根据题意有3t＝cosθ，4＋4t＝4sinθ，∴3(sinθ－1)＝cosθ，∴3sinθ－cosθ＝3.∴2sin(θ－π6)＝3，∴sin(θ－π6)＝32.∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6或π2.5．设P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，求x＋2y的取值范围．解析由2x2＋3y2＝12，∴x26＋y24＝1.∴x＝6cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．∴x＋2y＝6cosθ＋4sinθ＝22sin(θ＋φ)，θ为实数，φ为辅助角．∴x＋2y∈[－22，22]．6．在椭圆7x2＋4y2＝28上求一点，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短．解析设椭圆上任一点P(2cosθ，7sinθ)，由点到直线的距离公式，得d＝|6cosθ－27sinθ－16|9＋4＝|36＋28sin（φ－θ）|13＝|8sin（φ－θ）－16|13，dmin＝813＝81313，再求点P为(32，－74)．