2019-2020学年高中数学 第4章 圆的方程 4.2.3 直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必

数学必修②·人教A版新课标导学第四章圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案某县位于山区，居民的居住区域大致呈如右图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60km，AE＝CD＝30km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，你能判断出转播台应建在何处吗？直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为________问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成________结论．这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为“一建二算三译”．代数几何1．某洞口的横截面是半径为5cm的半圆，则该半圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随着建立的直角坐标系的变化而变化[解析]在不同的坐标系下，方程不同．D2．(2019·南安一中高一检测)如图是某圆拱桥的示意图．这个圆拱桥的水平面跨度AB＝24m，拱高OP＝8m．现有一船，宽10m，水面以上高6m，这条船能从桥下通过吗？为什么？[解析]建立如图所示的坐标系，依题意，有A(－12,0)、B(12,0)、P(0,8)、D(－5,0)、E(5,0)．设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有a＋122＋b2＝r2a－122＋b2＝r2a2＋b－82＝r2，解得a＝0b＝－5r＝13.∴这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋5)2＝169(0≤y≤8)．将x＝－5代入上式，得y＝76.∴该船可以从桥下通过．3．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10km，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[解析]以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如右图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km，则从B地运货到P地的运费为a元/km.若P地居民选择在A地购买此商品，则2ax＋52＋y2ax－52＋y2，整理得(x＋253)2＋y2(203)2.即点P在圆C：(x＋253)2＋y2＝(203)2的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．互动探究学案如图所示，有一块五边形的铁皮ABCDE，|CD|＝100cm，|BC|＝80cm，|AB|＝70cm，|DE|＝60cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边分别落在BC和CD上．问怎样截才能使矩形的面积最大？命题方向1⇨直线方程的实际应用玉典例1[解析]分别以AB，DE所在的直线为x轴、y轴建立坐标系，以1cm为1个单位长度(如图所示)．则各点坐标为A(30,0)，B(100,0)，C(100,80)，D(0,80)，E(0,20)，线段AE的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．设线段AE上一点P(m，n)(0≤m≤30)，则有m30＋n20＝1.设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)·(80－n)．∵m30＋n20＝1，∴n＝20(1－m30)．∴S＝(100－m)·[80－20(1－m30)]＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．故当m＝5时S有最大值，这时|EP||PA|＝15.答：使矩形的一个顶点P在AE上，且|EP||PA|＝15时，沿PQ，PR剪开，可使截得的矩形铁皮面积最大．『规律方法』(1)借助坐标系、点的坐标、直线的方程等解析工具解决实际问题．(2)在求S＝(100－m)·(80－n)的最大值时，使用了“消元法”，因为在该式中有m、n两个变量，但m、n满足关系式m30＋n20＝1，从而得n＝20(1－m30)，代入S＝(100－m)·(80－n)后可消元减少一个变量n，使该式化为一个一元二次函数，再用配方法即可求其最值．〔跟踪练习1〕设有半径为3km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，乙向正北直行，甲先向正东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线前进，后来恰与乙相遇．设甲、乙两人匀速前进，其速率比为31，问两人在何处相遇？[解析]如图，建立平面直角坐标系，由题意可设甲、乙两人的速度分别为3vkm/h、vkm/h，又设甲出发t1h后在点P处改变前进方向，又经过t2h后与乙在点Q处相遇，则P、Q两点的坐标分别为(3vt1,0)、(0，vt1＋vt2)，由OP2＋OQ2＝PQ2，得(3vt1)2＋(vt1＋vt2)2＝(3vt2)2，化简得(t1＋t2)(5t1－4t2)＝0，又t1＋t20，所以5t1＝4t2，所以直线PQ的斜率kPQ＝－t1＋t23t1＝－34.因此可设直线PQ的方程为y＝－34x＋b(b0)，又已知直线PQ与圆O：x2＋y2＝9相切，所以|4b|32＋42＝3，解得b＝154＝3.75.故甲、乙两人的相遇点在离村中心正北方向3.75km处．如图所示，一座拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少米？命题方向2⇨圆的方程的实际应用典例2[解析]以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝51.∴水面下降1m后，水面宽为2x0＝251m.『规律方法』解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．〔跟踪练习2〕如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，在建造时每隔4m需用一个支柱，求支柱CD的长度．(精确到0.01m，210.25≈14.36)[解析]建立如图所示的直角坐标系则圆心在y轴上，设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面用待定系数法求b和r的值．因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是圆的方程的解．于是得到方程组02＋4－b2＝r2102＋0－b2＝r2，解得b＝－10.5，r2＝14.52.所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把点C的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，于是y＝14.52－－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受到影响的范围半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？命题方向3⇨直线与圆的位置关系的实际应用典例3[解析]以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．取10km为单位长度，则受到台风影响的圆形区域所对应的圆O的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心O(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离为d＝|28|42＋72＝28653，所以直线4x＋7y－28＝0与圆O外离，所以轮船不会受到台风的影响．『规律方法』解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：〔跟踪练习3〕已知台风中心从A地以每小地20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，求B城市处于危险区内的时间．[解析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202km.则射线AC被以B为圆心，以30km为半径的圆截得的弦长为2302－2022＝20(km)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(h)．与圆有关的最值问题与代数表达式的几何意义1．代数表达式的几何意义①y－bx－a表示动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．②x2＋y2表示动点(x，y)与原点(0,0)距离的平方．x－a2＋y－b2表示动点(x，y)与定点(a，b)之间的距离．③求2x＋y的取值范围时，可令t＝2x＋y，则y＝－2x＋t，t表示直线y＝－2x＋t在y轴上的截距．求3x－2y的取值范围时，令t＝3x－2y，则y＝32x－t2，则－t2表示直线y＝32x－t2在y轴上的截距．2．与圆有关的最值问题①点P(x，y)是⊙C上的动点，Q(a，b)是定点，求yx，y－bx－a，x2＋y2，(x－a)2＋(y－b)2,2x＋y的取值范围时，利用代数表达式的几何意义，数形结合求解．②点P(x，y)是⊙C上的动点，l是直线，Q是直线l上的动点，求|PQ|或P到l的距离的最值时，利用数形结合法求解．③⊙C经过定点A，圆心C在直线l上运动，求半径最小的圆或求经过两定点A、B的最小的圆，用数形结合法讨论求解．④P在⊙C内，求经过点P的直线与圆相交最短弦长，用数形结合法求解．⑤P、Q分别在⊙C1与⊙C2上运动，求|PQ|的最值，用数形结合讨论求解．典例4(2019·湖北襄阳枣阳二中高三期中)已知点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．[解析]圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3,3)，半径r＝2.(1)yx表示圆上点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；设yx＝k，显然当直线y＝kx与⊙C相切时，k取到最大值与最小值，由|3k－3|1＋k2＝2，得k＝9±2145.∴yx的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1,0)，连线段长度d的平方加上2.∵|AC|＝5，∴3≤d≤7，∴所求最小值为11.〔跟踪练习4〕已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．[解析]设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．直线AB的方程为x＋y－2＝0.两圆圆心连线的方程为x－y＝0.解方程组x＋y－2＝0，x－y＝0.得圆心坐标为(1,1)．圆心M(0,0)到直线AB的距离为d＝2，弦AB的长为|AB|＝2102－22＝42，所以所求圆的半径为22.所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.忽视方程中未知数的取值范围致误典例5D方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k的范围是()A．k＝±3B．k∈(－2,2)C．k－2或k2D．k－2或k2或k＝±3[错解]选A或选C[错因分析]因忽视y＝1－x2中的y≥0而认为直线与圆相切而错选A．虽然注意到图形表示半圆但漏掉直线与圆相切的情形而错选C．[正解]选D．由题意知，直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点．结合图形易得k－2或k2或k＝±3.[警示]注意整条曲线与部分曲线的区别，解题时要充分