2019-2020学年高中数学 第4讲 数学归纳法证明不等式 第2课时 用数学归纳法证明不等式课件

第2课时用数学归纳法证明不等式1．贝努利不等式：如果x是实数且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则________________．2．设α为有理数，x＞－1，如果0＜α＜1，则(1＋x)α____1＋αx；如果α＜0或α＞1，则(1＋x)α______1＋αx，当且仅当____________时，等号成立．(1＋x)n＞1＋nx≤≥x＝01．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4【答案】C【解析】由题意知n≥3，∴应验证n＝3.2．用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋1n＋n≥1124(n∈N*)时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是()A．12k＋1B．12k＋1＋12k＋2C．12k＋1＋12k＋2－1k＋1D．12k＋1＋12k＋2－1k＋1－1k＋2【答案】C【解析】因为n＝k＋1时，不等式左边为1k＋1＋1＋1k＋3＋…＋1k＋k＋1k＋k＋1＋1k＋k＋2，所以应添加的项是12k＋1＋12k＋2－1k＋1.3．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳为__________________．【答案】1＋122＋132＋…＋1n＋12＜2n＋1n＋1(n∈N*)【解析】1＋122＜32，即1＋11＋12＜2×1＋11＋1.1＋122＋132＜53，即1＋11＋12＋12＋12＜2×2＋12＋1.归纳为1＋122＋132＋…＋1n＋12＜2n＋1n＋1(n∈N*)．4．若n为大于1的自然数，求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＞1324.【解析】①当n＝2时，12＋1＋12＋2＝712＞1324不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＞1324，则当n＝k＋1时，1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋1k＋1－1k＋1＞1324＋12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝1324＋12k＋1－12k＋2＝1324＋122k＋1k＋1＞1324.∴n＝k＋1时，不等式也成立．由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．数学归纳法与不等式证明的基本方法【例1】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1＋13·1＋15·…·1＋12n－1＞2n＋12成立．【解题探究】本题证明n＝k＋1命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用归纳假设后，证明不等式k＋12k＋1＞2k＋1＋12成立．【解析】方法一：①当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边＞右边，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即1＋13·1＋15·…·1＋12k－1＞2k＋12，则当n＝k＋1时，1＋131＋15…1＋12k－1·1＋12k＋1－1＞2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋1＞4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋3·2k＋12·2k＋1＝2k＋1＋12.∴n＝k＋1时，不等式也成立．由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．方法二：①当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边＞右边，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立，即1＋131＋15…1＋12k－1＞2k＋12，那么当n＝k＋1时，1＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1＞2k＋121＋12k＋1＝k＋12k＋1，要证不等式成立，只需证明k＋12k＋1＞2k＋1＋12，只要证明4k2＋8k＋4＞4k2＋8k＋3，此式显然成立．故当n＝k＋1时，不等式仍然成立．由①，②知，对一切n≥2(n∈N*)不等式均成立．(1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行适当变形，用上归纳假设后，通常进行合理放缩，以达到转化的目的．有时可以“套”用其他证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面．1．由下列各式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，你能得出怎样的结论？并进行证明．【证明】对所给各式进行观察比较，注意各不等式左边最后一项的分母特点：1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想为2n－1，对应各式右端为n2.归纳得一般结论1＋12＋13＋…＋12n－1＞n2(n∈N*)．下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，结论显然成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即1＋12＋13＋…＋12k－1＞k2成立，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－2＋12k＋1－1＞k2＋12k＋…＋12k＋1－2＋12k＋1－1＞k2＋2k·12k＋1－1＝k2＋12－12k＞k＋12.即当n＝k＋1时结论也成立．由①，②可知对任意n∈N*，结论都成立．【例2】设x是实数且x＞－1，x≠0，n大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx.【解题探究】用数学归纳法证明，注意适当的放缩．用数学归纳法证明贝努利不等式【解析】①当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时不等式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx.当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋x＋kx＝1＋(k＋1)x，即当n＝k＋1时结论也成立．由①，②可知，对一切大于1的正整数n均成立．2．设x是实数且x＞－1，x≠0，证明：1－x1＋xn＞1－nx1＋x，对一切不小于2的正整数n都成立．【证明】①当x＞0时，0＜x1＋x＜1，－1＜－x1＋x＜0.②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，则x1＋x＞|x|，∵x1＋x＜0，∴－x1＋x＞－x＞0＞－1.∴当x＞－1，x≠0时，有－x1＋x＞－1且－x1＋x≠0，即该不等式满足贝努利不等式．根据贝努利不等式得，1－x1＋xn＝1＋－x1＋xn＞1＋n－x1＋x＞1－nx1＋x.(贝努利不等式的证明见例2)用数学归纳法解决数列问题【例3】设数列{xn}：x1＝316，xn＝38＋12x2n－1，其中n≥2，n∈N*，求证：(1)0＜xn＜12；(2)xn＜xn＋1.【解题探究】这是一个与数列有关的不等式问题，证明过程中要注意用到递推关系式xn＝38＋12x2n－1.【解析】(1)①当n＝1时，∵x1＝316，∴0＜x1＜12成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即0＜xk＜12，则当n＝k＋1时，xk＋1＝38＋12x2k＜38＋12×14＝12，而xk＋1＞38＞0，∴0＜xk＋1＜12.即当n＝k＋1时结论也成立．由①，②知，对n∈N*都有0＜xn＜12.(2)①当n＝1时，∵x2＝38＋12x21＞38＞x1，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即xk＜xk＋1，则当n＝k＋1时，∵xk＋1＞xk＞0，∴x2k＋1＞x2k.∴xk＋2＝38＋12x2k＋1＞38＋12x2k＝xk＋1，即当n＝k＋1时结论也成立．由①，②知对n∈N*都有xn＜xn＋1.用数学归纳法证明与数列有关的不等式问题，要注意用到递推关系式xn＝38＋12x2n－1，通过正确的放缩来达到目的．3．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋an1＋an(n∈N*)，用数学归纳法证明：an＜an＋1.【证明】当n＝1时，a2＝32，a1＜a2，所以n＝1时，不等式成立．假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＜ak＋1成立，则n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋ak＋11＋ak＋1－ak＋1＝1＋ak＋11＋ak＋1－1＋ak1＋ak＝ak＋1－ak1＋ak＋11＋ak＞0，即ak＋2－ak＋1＞0，所以n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，不等式an＜an＋1(n∈N*)成立．1．使用数学归纳法证明不等式，难点在于由n＝k时命题成立推出n＝k＋1时命题成立，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题中的其他条件和相关知识．其中，比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地应用．2．放缩法是把不等式中的某些部分的值放大或缩小，达到证明的目的．但要注意放大或缩小要适度．