2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 指数函数（第1课时）

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质学习目标核心素养1.理解指数函数的概念．(重点)2.掌握指数函数的图象和性质．(重点)3.能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)4.掌握函数图象的平移变换和对称变换.通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.自主预习探新知1．指数函数的概念一般地，函数________(a0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.y＝ax2．指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域___R值域____________定点图象过点__________，即x＝__时，y＝__函数值的变化x0时，______；x0时，__________x0时，__________；x0时，______单调性在(－∞，＋∞)上是单调______在(－∞，＋∞)上是单调______性质奇偶性非奇非偶函数(0，＋∞)(0,1)01y10y10y1y1增函数减函数1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝3·2x是指数函数．()(2)指数函数的图象与x轴永不相交．()(3)函数y＝2－x在R上为增函数．()(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×[提示](1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数．(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x轴不相交．(3)y＝2－x＝12x是减函数．(4)a1时，若x0，则ax1.2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号)(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a1，且a≠2)．(4)(6)[只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b0且b≠1，所以是．]3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.3x[由于a2＝9，∴a＝±3.∵a＞0，∴a＝3，∴f(x)＝3x.]合作探究提素养指数函数的概念【例1】函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，求实数a的值．思路点拨：利用指数函数的定义求解．[解]∵函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，∴a2－7a＋7＝1，a0，a≠1，∴a＝1或a＝6，a0，a≠1，∴a＝6，即a的值为6.指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.1．已知y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是________．aa12且a≠1[要使y＝(2a－1)x是指数函数，则2a－10且2a－1≠1，∴a12且a≠1.]利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小：(1)34－1.8与34－2.6；(2)58－23与1；(3)0.6－2与43－23；(4)130.3与3－0.2.思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解](1)0341，y＝34x在定义域R内是减函数．又∵－1.8－2.6，∴34－1.834－2.6.(2)∵0581，∴y＝58x在定义域R内是减函数．又∵－230，∴58－23580＝1，∴58－231.(3)∵0.6－20.60＝1，43－23430＝1，∴0.6－243－23.(4)∵130.3＝3－0.3，y＝3x在定义域R内是增函数，又∵－0.3－0.2，∴3－0.33－0.2，∴130.33－0.2.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：1底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.2底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.3底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象.2．比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.60.4与0.40.6；(3)4313，223，－233，3412.[解](1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π－3，∴1.9－π1.9－3.(2)∵y＝0.6x在R上递减，∴0.60.40.60.6.又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x图象的上方，∴0.60.60.40.6，∴0.60.40.40.6.(3)∵－2330，43131,2231,034121，又在y轴右侧，函数y＝43x的图象在y＝4x的下方，∴4313413＝223，∴－23334124313223.利用单调性解指数不等式【例3】(1)已知4≥2x＋1223，求x的取值范围；(2)已知0.3x103y，求x＋y的符号．思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解．[解](1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x＋1223.∵y＝2x是单调递增的，∴2≥x＋123，∴－13x≤1，∴x的取值范围为x－13x≤1.(2)(0.3)x103y＝310－y＝0.3－y.∵y＝0.3x是减函数，∴x－y，∴x＋y0.1．形如axay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．3．(1)若例3题(1)改为4≥12x＋1223，则x的取值范围为_____．(2)解关于x的不等式a3x－2≤ax＋2，(a＞0且a≠1)．(1)－3，－53[∵2232－(x＋1)≤22，又y＝2x是增函数，∴23－(x＋1)≤2，解得－3≤x－53.](2)[解]①当a1时，3x－2≤x＋2，∴x≤2.②当0a1时，3x－2≥x＋2，∴x≥2.综上，当a1时，不等式的解集为{x|x≤2}，当0a1时，不等式的解集为{x|x≥2}.图象变换及其应用[探究问题]1．在同一坐标系中作出y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y＝2x，y＝2x－1，y＝2x－1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．[提示]结论：y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到；y＝2x＋1＋2的图象是由y＝2x＋1的图象再向上平移2个单位得到；y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到；y＝2x－1－2的图象是由y＝2x－1的图象再向下平移2个单位得到．2．在同一坐标系中，做出y＝2x－1，y＝3x－1，y＝12x－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y＝ax－1均过该点．在另一坐标系中，做出y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝12x＋1－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么，能得出y＝ax＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y＝ax＋m＋n(m，n0)的图象经过的定点是什么？[提示]结论：y＝2x－1，y＝3x－1，y＝12x－1都过定点(0,0)，且y＝ax－1也总过定点(0,0)．y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝12x＋1－1都过定点(－1,0)，且y＝ax＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y＝ax＋m＋n的图象经过定点(－m,1＋n)．3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y＝4a2x－4＋3是否过定点．[提示]还可以整体代换．将y＝4a2x－4＋3变形为y－34＝a2x－4.令y－34＝1，2x－4＝0⇒x＝2，y＝7，即y＝4a2x－4＋3过定点(2,7)．【例4】(1)函数y＝3－x的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．(3)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．思路点拨：题(1)中可将y＝3－x转化为y＝13x.题(2)中，函数y＝ax＋b的图象过点(0,1＋b)，因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)②(2)一(3)(－1，－1)[(1)y＝3－x＝13x为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y＝ax(0＜a＜1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0,1＋b)．因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此时y＝2a0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．4．函数y＝f(x)＝ax＋2－12(a1)的图象必过定点______，其图象必不过第________象限．－2，12四[y＝ax(a1)在R上单调递增，必过(0,1)点，故求f(x)所过的定点时可以令x＋2＝0，y＋12＝1⇒x＝－2，y＝12，即定点坐标为－2，12.结合图象(略)可知，f(x)的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限．]1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2．指数函数y＝ax(a0且a≠1)的性质分底数a1,0a1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.4．在y轴右侧，底数a越大，图象越靠近y轴.当堂达标固双基1．下列所给函数中为指数函数的是()①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝4x2；⑥y＝x2；⑦y＝(2a－1)xa12，a≠1.A．①③B．②④⑥C．①⑦D．①④⑦C[形如y＝ax(a0且a≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．]2．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．(1,2)[由题意可知，02－a1，即1a2.]3．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．(5,2)[指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．]