2019-2020学年高中数学 第3章 直线与方程章末复习课课件 新人教A版必修2

第三章直线与方程章末复习课直线的倾斜角与斜率【例1】(1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．[解](1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求．直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝33.∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴直线l2的斜率k2＝tan120°＝－3.(2)由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，即5－y1x2－2＝1－53－x2＝1，解得x2＝7，y1＝0.求直线的倾斜角与斜率注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．1．(1)若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于________．(2)如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．(1)－9(2)30°[(1)∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC.∴b－1－2－3＝11－18－3，即b＝－9.(2)因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.]直线五种形式的方程的应用【例2】已知△ABC中，A(1，3)，AB，AC边上中线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程.思路探究：本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．[解]设AB，AC边的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，∵点B在中线y－1＝0上，∴设点B的坐标为(xB，1)．∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1，3)，∴点D的坐标为xB＋12，2.∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，∴xB＋12－2×2＋1＝0，∴xB＝5.∴点B的坐标为(5，1)．∵点C在直线x－2y＋1＝0上，∴设点C的坐标为(2t－1，t)．∴AC的中点E的坐标为t，t＋32.∵点E在中线BE：y＝1上，∴t＋32＝1，∴t＝－1.∴点C的坐标为(－3，－1)，∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.求直线方程的方法(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．2．过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．[解](1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.令y＝0，分别得x＝－1，x＝－2k.由题意－1＋2k＝1，即k＝1.则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.两条直线的位置关系【例3】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0，①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，ab＝1－a，即b＝a1－a.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋4（a－1）a＝0，l2：(a－1)x＋y＋a1－a＝0.∵原点到l1与l2的距离相等，∴4a－1a＝a1－a，解得a＝2或a＝23.因此a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.直线的位置关系的判断方法及注意点(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．3．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．[解](1)若l1∥l2，则a（a－1）－2×1＝0，a（a2－1）－6×1≠0.∴a＝－1.∴a＝－1时，l1∥l2.(2)当l2的斜率不存在时，a＝1.则l2：x＝0，l1：x＋2y＋6＝0.显然l1与l2不垂直．当l2斜率存在时，a≠1.则k2＝11－a，k1＝－a2.∵l1⊥l2，∴k1·k2＝11－a·－a2＝－1.∴a＝23.距离公式的应用【例4】已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．[解](1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0,即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝12或λ＝2.所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由2x＋y－5＝0，x－2y＝0，解得交点P(2，1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．所以dmax＝|PA|＝10.距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．4．若P、Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A．95B．185C．2910D．295C[因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.]对称问题[探究问题]1．怎样求点关于点的对称点？[提示]设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解．2．怎样求点关于直线的对称点坐标？[提示]设出所求点坐标(x,y)，利用中点坐标公式建立关于x,y的第一个方程，再利用垂直关系建立x,y的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．【例5】光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[解]设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则2＋x02＋3＋y02＋1＝0，y0－3x0－2＝1.解之得，A′(－4，－3)．由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)·1＋31＋4，即4x－5y＋1＝0.解方程组4x－5y＋1＝0，x＋y＋1＝0，得反射点P－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)·3＋132＋23，即5x－4y＋2＝0.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0；4x－5y＋1＝0.1．点关于直线对称的点的求法点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组y－y0x－x0·－AB＝－1（AB≠0）A·x＋x02＋B·y＋y02＋C＝0求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．5．已知△ABC的顶点A(3，－1)，∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，求BC边所在的直线方程．[解]如图，设点A关于直线BO，CD的对称点分别为A1，A2.因为A(3，－1)，且∠B的平分线方程为x＝0，故点A关于直线BO的对称点A1的坐标为(－3，－1)．又因为∠C的平分线CD的方程为y＝x，所以点A关于直线CD的对称点A2的坐标为(－1，3)．而A1(－3，－1)，A2(－1，3)两点都在直线BC上，由此可得直线BC的方程为2x－y＋5＝0.