2019-2020学年高中数学 第3章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率课件 新人教A版必修2

数学必修②·人教A版新课标导学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率课时为缓解日益严重的交通压力，各地都加大了基础设施建设的力度，先后投资发展轨道交通与城市高架桥建设，如图是高架桥的效果图，纵横交错的桥梁远远看去如一条条直线，有的相互平行，有的相互垂直，高架桥两边的护栏是平行的，而路灯的灯杆与护栏则是垂直的，如果我们把护栏与灯杆都看作直线，那么，从何角度研究直线以及如何研究呢？这就是本章将要学习的直线与方程．3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a、b、c、…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同．怎样描述这种“倾斜程度”的不同．1．倾斜角当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向______方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．定义规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为_______.图示范围0°≤α180°(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的____________作用(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__________，二者缺一不可上0°倾斜程度倾斜角2．斜率(倾斜角为α)定义α≠90°一条直线的倾斜角α的__________叫做这条直线的斜率α＝90°斜率不存在记法斜率k＝tanα范围____公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率为k＝________作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度正切值Ry2－y1x2－x11．给出下列结论：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系．正确结论的个数()A．1个B．2个C．3个D．4个A[解析]由倾斜角α∈[0°，180°)知②错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°，这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的．2．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为()A．3B．2C．－2D．不存在C[解析]直线AB的斜率k＝2－41－0＝－2．3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于________．[解析]设倾斜角为α，则tanα＝1，又∵0°≤α180°，∴α＝45°．45°4．(2019·诸城高一检测)已知交于点M(8,6)的四条直线l1、l2、l3、l4的倾斜角之比为1234，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．[解析]∵k2＝kMN＝6－38－5＝1，∴直线l2的倾斜角为45°．又∵l1、l2、l3、l4的倾斜角之比为，∴这四条直线的倾斜角分别为22.5°、45°、67.5°、90°．互动探究学案命题方向1⇨直线的倾斜角(1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是()A．0°≤β180°B．15°β180°C．15°≤β180°D．15°≤β195°(2)已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为_________________．[解析](1)因为直线l的倾斜率为β－15°，所以0°≤β－15°180°，即15°≤β195°．(2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°α1180°时，α2＝180°－α1．典例1D0°或180°－α1『规律方法』1.求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之；(2)先求出直线的斜率k，再由k＝tanα，求倾斜角α．2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k的值依次为0，正值，不存在，负值．〔跟踪练习1〕(2018·辽宁省丹东市高一联考)给出下列结论：①任意一条直线都有唯一的倾斜角；②直线的倾斜角可以为180°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④倾斜角为60°的直线有无数条．其中正确结论的序号有________．[解析]由倾斜角的定义可知每条直线都有唯一的倾斜角，①正确；直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，不可能是180°，故②不正确；倾斜角为α(α∈[0°，180°))的直线有无数条，它们是互相平行的，故③不正确，④正确．①④命题方向2⇨已知两点坐标求倾斜角和斜率典例2已知坐标平面内三点A(－1,1)、B(1,1)、C(2，3＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．[思路分析](1)利用k＝y2－y1x2－x1及k＝tanα求解；(2)先求出AC、BC斜率，进而求出k的范围．[解析](1)由斜率公式得kAB＝1－11－－1＝0.kBC＝3＋1－12－1＝3．kAC＝3＋1－12－－1＝33．倾斜角的取值范围是0°≤α180°．又∵tan0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°．∵tan60°＝3，∴直线BC的倾斜角为60°．又∵tan30°＝33，∴直线AC的倾斜角为30°．(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为[33，3].『规律方法』(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．〔跟踪练习2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．(1)(－3,0)、(－2，3)；(2)(1，－2)、(5，－2)；(3)(3,4)、(－2,9)；(4)(3,0)、(3，3)．[解析](1)直线的斜率k＝3－0－2＋3＝3＝tan60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°．(2)直线的斜率k＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，倾斜角为0°．(3)直线的斜率k＝9－4－2－3＝－1＝tan135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°．(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°．命题方向3⇨三点共线典例3(2019·江苏省靖江市高一期中)若A2m，52，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，则实数m的值为__________________．3＋572或3－572[解析]由于A，B，C三点所在的直线不可能垂直于x轴，即斜率存在，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC．由斜率公式得，kAB＝52＋12m－4＝74m－8，kBC＝－1＋m4＋4＝m－18．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴kAB＝kBC，即74m－8＝m－18，即m2－3m－12＝0，解得m1＝3＋572，m2＝3－572．故常数m的值是3＋572或3－572．『规律方法』应用斜率解决三点共线问题的方法(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要判断三点中是否有两点所在的直线垂直于x轴，即斜率不存在的情况．在斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线．(2)若两条直线的斜率相等，则两条直线平行或重合．〔跟踪练习3〕(2019·江西省南昌市高二月考)已知A(1,2)，B(－1,0)，C(3，a)三点在同一条直线上，则a的值为()A．－2B．－4C．4D．2C[解析]由题可知2－01－－1＝a－03－－1，解得a＝4．数形结合思想与代数式的几何意义由于经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)，因此，y－3x＋1的几何意义为动点P(x，y)与定点A(－1,3)连线的斜率，yx表示动点P(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率．已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．典例4[解析]如图所示，直线l绕着P点，从PA旋转到PB时，与线段AB相交，又因为PA的斜率kPA＝2－－3－1＋2＝5，PB的斜率kPB＝2－0－1－3＝－12，所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－12]∪[5，＋∞)．〔跟踪练习4〕(1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)、P2(x2,5)、P3(3,1)是此直线上的三点，则x2＋y1＝_____．(2)已知A(3，－1)，B(1,2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则yx的取值范围是_______________．7－13，2[解析](1)∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝k，即1－y13－2＝1－53－x2＝1，解得x2＝7，y1＝0．∴x2＋y1＝7．(2)yx表示直线OP的斜率，当点P与点A重合时，yx取最小值－13，当点P与点B重合时，yx取最大值2.所以yx∈－13，2．典例5[错解]由斜率公式可得直线AB的斜率k＝3－2m－1＝1m－1．①当m1时，k＝1m－10，所以直线的倾斜角的取值范围是0°α90°；②当m1时，k＝1m－10，所以直线的倾斜角的取值范围是90°α180°．忽视倾斜角是90°的直线斜率不存在致误求经过A(m,3)、B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．[错因分析]当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m1，m1三种情况进行讨论．[正解]当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角为α＝90°．当m≠1时，由斜率公式可得k＝3－2m－1＝1m－1．①当m1时，k＝1m－10，所以直线倾斜角的取值范围是0°α90°．②当m1时，k＝1m－10，所以直线倾斜角的取值范围是90°α180°．[警示]在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．1．下图中，α能表示直线l的倾斜角大小的是()A．①B．①②C．①③D．②④[解析]①③中直线的倾斜角为α，故选C．C2．已知P1(3,5)、P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k等于()A．2B．1C．D．不存在A[解析]k＝－3－5－1－3＝2．3．下列各组中的三点共线的是()A．(1,4)、(－1,2)、(3,5)B．(－2，－5)、(7,6)、(－5,3)C．(1,0)、(0，－13)、(7,2)D．(0,0)、(2,4)、(－1,3)C[解析]利用斜率相等判断可知C正确．4．已知A(1,23＋1)、B(－1,1)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为()A．1B．33C．3D．不存在B[解析]∵kAB＝23＋1－11－－1＝3，∴直线AB的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为30°.其斜率k＝tan30°＝33．