2019-2020学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 1 1.1 椭圆及其标准方程课件 北师大版选

第三章圆锥曲线与方程§1椭圆1.1椭圆及其标准方程学习目标：1.了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点)2.理解椭圆标准方程的推导过程．(难点)3.会求简单的椭圆的标准方程．(易混点)自主预习探新知1．椭圆的定义(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的等于(大于)的点的集合叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的，间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M|2a|F1F2|}．|MF1|＋|MF2|＝2a，和常数|F1F2|焦点两焦点思考：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点坐标________________________________a，b，c的关系______________a2＝b2＋c2(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)1.判断正误(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．()(3)椭圆的特殊形式是圆．()[答案](1)√(2)×(3)×2．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段A[∵|MF1|＋|MF2|＝10|F1F2|＝6，由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．]3．若椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．4D．1A[由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5.]4．椭圆x225＋y29＝1的焦点在________轴上，焦距是________，椭圆x29＋y216＝1的焦点在________轴上，焦点坐标是________．x8y(0，7)和(0，－7)[由259可判断椭圆x225＋y29＝1的焦点在x轴上，由c2＝25－9＝16，可得c＝4，故其焦距为8.由169，可判断椭圆x29＋y216＝1的焦点在y轴上，c2＝16－9＝7，故焦点坐标为(0，7)和(0，－7)．]合作探究提素养用待定系数法求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.故所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有（3）2a2＋（－2）2b2＝1，（－23）2a2＋1b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.故所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有（－2）2a2＋（3）2b2＝1，1a2＋（－23）2b2＝1，解得a2＝5，b2＝15，因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有3m＋4n＝112m＋n＝1，解得m＝115n＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同的焦点．(2)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0，2)和B12，3.[解](1)因为所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(3，－5)在椭圆上，所以（－5）2a2＋（3）2b2＝1，即5a2＋3b2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.(2)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，将A，B两点坐标代入方程得4n＝1，14m＋3n＝1，解得m＝1，n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.定义法求椭圆的标准方程【例2】(1)已知△ABC的周长是8，且B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程是()A.x29＋y28＝1(x≠±3)B.x29＋y28＝1(x≠0)C.x24＋y23＝1(y≠0)D.x23＋y24＝1(y≠0)(2)已知一动圆M与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．(1)A[∵△ABC的两顶点B(－1，0)，C(1，0)，周长为8，∴|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝3，b＝22.又∵A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为x29＋y28＝1(x≠±3)．故选A.](2)解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．由题设有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.定义法求椭圆的标准方程1．先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两定点间的距离．2．若符合，则动点的轨迹为椭圆，且两定点间的距离为焦距2c，距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程．2．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．[解]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|.∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∵2a＝4，2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴点P的轨迹方程为x24＋y23＝1.椭圆的定义及标准方程的应用[探究问题]1．若方程x25－2m＋y2|m|－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m满足什么范围？[提示]∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程应为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，∴|m|－1＞5－2m＞0，解得2＜m＜52，∴m的取值范围为2＜m＜52.2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)F1，F2是它的焦点，过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长是否是定值？[提示]定值．如图，|AF1|＋|AF2|＝2a|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.【例3】(1)椭圆x225＋y29＝1上一点A到焦点F的距离为2，B为AF的中点，O为坐标原点，则|OB|的值为()A．8B．4C．2D.32(2)如图所示，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[思路探究](1)利用椭圆的定义及三角形的中位线性质求解；(2)由椭圆的定义得|PF1|和|PF2|的等量关系；再由余弦定理建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin120°求解．(1)B[设F′为椭圆的另一焦点则|AF|＋|AF′|＝2a＝10，∴|AF′|＝8，∵O，B分别为FF′，AF的中点．∴|OB|＝12|AF′|＝4.](2)解：由已知得a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①解得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是335.(变结论)在本例(2)题设条件不变的情况下，求点P的坐标．[解]设P(x，y)，由S△PF1F2＝335可知12|F1F2||y|＝12×2|y|＝335，所以|y|＝335，代入椭圆方程x24＋y23＝1得x＝±85，又因为点P在第二象限，所以点P的坐标为－85，335.1．椭圆定义的应用(1)实现两个焦点半径之间的相互转化．(2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题．2．椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝12absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．当堂达标固双基1．下列说法正确的是()A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到F1，F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C．到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．到F1(－4，0)，F2(4，0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆C[椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．A中，|F1F2|＝8，故到F1，F2两点距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.B中，到F1，F2的两点距离之和为6，小于|F1F2|的距离，故这样的轨迹不存在．C中，点(5，3)到F1，F2两点的距离之和为（5＋4）2＋32＋（5－4）2＋32＝410|F1F2|＝8，故轨迹是椭圆．D中，轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故选C.]2．已知椭圆x216＋y27＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点的距离为()A．4B．6C．30D.23B[由定义|PF1|＋|PF2|＝8，知|PF2|＝6.]3．已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0，焦距为4，则k的值为________．1或5[将方程kx2＋3y2－6k＝0化为x26＋y22k＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5.]4．已知椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．48[依题意a＝7，b＝26，c＝49－24＝5，|F1F2|＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，|PF1|2＋|PF2|