2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数章末复习课课件 新人教B版选修2-2

第三章数系的扩充与复数章末复习课复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．【例1】复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．[思路探究]根据复数的分类列方程求解．[解](1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以x2－3x－30，①log2x－3＝0，②x－30，③由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以x2－3x－30，①log2x－3≠0，②x－30，③由①得x3＋212或x3－212.由②得x≠4，由③得x3.所以当x3＋212且x≠4时，z为虚数．1．设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．[解析](1)因为a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝a－103＋i10＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得－b＝－3，a＋1＝2，解得a＝1，b＝3.故复数z的实部是1．法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝－3＋2ii＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1．[答案](1)D(2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·z为实数．【例2】(1)设i是虚数单位，z－表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则zi＋i·z－＝()A．－2B．－2iC．2D．2i(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i[思路探究](1)先求出z及zi，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．[解析](1)∵z＝1＋i，∴z－＝1－i，zi＝1＋ii＝－i2＋ii＝1－i，∴zi＋i·z－＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋52－i＝2i＋52＋i2－i2＋i＝2i＋2＋i＝2＋3i.[答案](1)C(2)A2．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则zz的值为()A.35＋45iB.35－45iC．－35＋45iD．－35－45i[解析]因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i，所以z＝2＋i，所以zz＝2＋i2－i＝2＋i25＝35＋45i.[答案]A复数的几何意义1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．【例3】(1)在复平面内，复数i1＋i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为()A．(0，－1)B．(0,1)C.45，－35D.45，35[思路探究]先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．[解析](1)复数i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝1＋i2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是12，12.∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2)∵1－2i2＋i＝1－2i2－i2＋i2－i＝－5i5＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.[答案](1)A(2)A3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是()(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A．EB．FC．GD．H[解析](1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z＝3＋i，所以z1＋i＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．[答案](1)A(2)D转化与化归思想一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．【例4】设z∈C，满足z＋1z∈R，z－14是纯虚数，求z.[思路探究]本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋1z＝x＋yi＋1x＋yi＝x＋xx2＋y2＋y－yx2＋y2i，∵z＋1z∈R，∴y－yx2＋y2＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，又∵z－14＝x＋yi－14＝x－14＋yi是纯虚数．∴x－14＝0，y≠0，∴x＝14，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±154，∴复数z＝14±154i.4．满足z＋5z是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．[解]设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋5z＝x＋yi＋5x＋yi＝x＋5xx2＋y2＋y－5yx2＋y2i，z＋3＝x＋3＋yi.由已知，得y－5yx2＋y2＝0，x＋3＝－y，因为y≠0，所以x2＋y2＝5，x＋y＝－3，解得x＝－1，y＝－2或x＝－2，y＝－1.所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．1．设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2[解析]∵z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－2i2＋2i＝i，∴|z|＝1．故选C.[答案]C2．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]11－i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，对应点位于第四象限，故选D.[答案]D3．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3B．－2C．2D．3[解析](1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3.故选A.[答案]A4．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)[解析]由题意知m＋3＞0，m－1＜0，即－3＜m＜1．故实数m的取值范围为(－3,1)．[答案]A5．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．1B.2C.3D．2[解析]∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1．∴|x＋yi|＝|1＋i|＝2，故选B.[答案]B6．若z＝1＋2i，则4izz－1＝()A．1B．－1C．iD．－i[解析]因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以zz＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4izz－1＝4i4＝i.故选C.[答案]C7．设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D/⇒a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.[答案]B