2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入本章整合提升课件 新人教A版选修2-2

第三章数系的扩充与复数的引入本章整合提升1复数的概念及其几何意义专题复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础，在解题时，要注意z＝a＋bi中，a，b∈R，a，b分别为复数的实部与虚部．复数的几何意义的实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想解决数学问题．设复数z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i.试求当实数m取何值时：(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点在直线y＝x上．【解】z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i＝m2＋m2i－2m－4mi－3＋3i＝(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)i.(1)若z是实数，则有m2－4m＋3＝0，解得m＝1或3.(2)若z是纯虚数，则有m2－2m－3＝0，m2－4m＋3≠0，解得m＝－1.(3)复数z对应的点的坐标为(m2－2m－3，m2－4m＋3)，依题意有m2－2m－3＝m2－4m＋3，解得m＝3.已知复数z∈C，且|z|＝1，解方程z5＋z＝1.【解】由题设条件得z5＝1－z，∴|z5|＝|1－z|，又|z|＝1，∴|z－1|＝1.∴复数z在复平面上对应的点Z为圆x2＋y2＝1与圆(x－1)2＋y2＝1的交点，由x2＋y2＝1，x－12＋y2＝1，得x＝12，y＝32或x＝12，y＝－32.∴z＝12±32i.2复数的运算专题复数的运算包括加、减、乘、除运算，在历年的高考中，对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算．另外，复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义求解，在解题过程中常用以下结论：(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；(2)(1±i)2＝±2i；(3)设ω＝－12±32i，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N*)等；(4)12±32i3＝－1；(5)作复数除法运算时，有如下技巧：a＋bib－ai＝a＋biib－aii＝a＋biia＋bi＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．已知复数z＝1－i，则z2z－1＝()A．2B．－2C．2iD.－2i【解析】∵z＝1－i，∴z2z－1＝1－i21－i－1＝－2i－i＝2，故选A.【答案】A计算：(1)－23＋i1＋23i；(2)求(1＋3i)100的展开式中所有奇数项的和．【解】(1)－23＋i1＋23i＝－23＋ii1＋23ii＝－23＋iii－23＝i.(2)因为(1＋3i)100的展开式中所有奇数项都是实数，而(1＋3i)100＝210012＋32i100＝2100·－－12－32i100＝2100－12－32i＝299(－1－3i)，所以(1＋3i)100的展开式中所有奇数项的和等于－299.3共轭复数与模专题共轭复数与复数的模是复数中两个非常重要的概念，在解有关复数问题时，除共轭复数的定义及模的计算公式外，还经常用到如下结论：(1)|z|＝1⇔z·z＝1；(2)z∈R⇔z＝z；(3)z≠0，z为纯虚数⇔z＝－z.若复数z满足|z|＝1＋3i－z，求(1＋i)2·z的值．【解】设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝1＋3i－z，∴a2＋b2＝1－a＋(3－b)i，∴a2＋b2＝1－a，3－b＝0，得b＝3，a＝－4.∴z＝－4＋3i.∴(1＋i)2z＝2i(－4－3i)＝6－8i.复数z＝1＋i3a＋bi1－i且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．【解】z＝1＋i2·1＋i1－i(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.由|z|＝4得a2＋b2＝4，①∵复数0，z，z对应的点构成正三角形，∴|z－z|＝|z|.把z＝－2a－2bi代入化简得a2＝3b2，②代入①得，|b|＝1.又∵Z点在第一象限，∴a＜0，b＜0.由①②得a＝－3，b＝－1，故所求值为a＝－3，b＝－1.