2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数的乘法和除法课件 新

第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数的运算3.2.2复数的乘法和除法学习目标核心素养1．掌握复数代数形式的乘除运算．(重点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．理解共轭复数的性质，并能灵活运用．(易错点)通过学习乘法和除法，培养学生数学运算素养.自主预习探新知一、复数的乘法法则及运算律1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝.(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝______结合律(z1·z2)·z3＝_________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝___________z2·z1z1z2＋z1z3z1·(z2·z3)二、共轭复数的性质与复数的除法1．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于对称．(2)实数的共轭复数是，即z＝z⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z·z＝＝|z|2∈R.|z|2实轴它本身2．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，z1z2＝a＋bic＋di＝.ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．()(2)若z∈C，则|z|2＝z2.()(3)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()[解析](1)正确．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，∵|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋－b2＝a2＋b2，∴|z|＝|z|.(2)错误．举反例：如z＝1＋i，则|z|＝2，z2＝2i，|z|2≠z2.(3)错误．例如z1＝1，z2＝i，显然z21＋z22＝0，但z1≠z2≠0.[答案](1)√(2)×(3)×2．i是虚数单位，复数7－i3＋i＝________.[解析]7－i3＋i＝7－i3－i3＋i3－i＝20－10i10＝2－i.[答案]2－i3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.[解析]因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.[答案]1＋2i合作探究提素养复数代数形式的乘除运算【例1】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3i(2)1＋i31－i2等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(3)计算：2＋2i24＋5i5－4i1－i＝________.[思路探究](1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[解](1)∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.(2)1＋i31－i2＝－2＋2i－2i＝1－ii＝i＋1－1＝－1－i.故选D.(3)2＋2i24＋5i5－4i1－i＝4i4＋5i5－4－9i＝－20＋16i1－9i＝－45－4i1＋9i82＝－441＋41i82＝－2－2i.[答案](1)A(2)D(3)－2－2i1．复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．2．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，－12±32i3＝1，1i＝－i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．1．计算：(1)－12＋32i32＋12i(1＋i)；(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．[解](1)－12＋32i32＋12i(1＋i)＝－34－34＋34－14i(1＋i)＝－32＋12i(1＋i)＝－32－12＋12－32i＝－1＋32＋1－32i.(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i1＋2i＝－2＋3i1－2i1＋2i1－2i＝－2＋6＋3＋4i12＋22＝45＋75i.共轭复数及其应用【例2】已知复数z的共轭复数是z，且z－z＝－4i，z·z＝13，试求zz.[思路探究]设z＝x＋yix，y∈R→由条件到方程组求x，y的值→计算zz的值[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得x＋yi－x－yi＝－4i，x＋yix－yi＝13，即2yi＝－4i，x2＋y2＝13，解得x＝3，y＝－2或x＝－3，y＝－2.因此z＝3－2i或z＝－3－2i.于是zz＝3－2i3＋2i＝3－2i23＋2i3－2i＝5－12i13＝513－1213i，或zz＝－3－2i－3＋2i＝－3－2i2－3＋2i－3－2i＝5＋12i13＝513＋1213i.1．已知关于z和z的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．2．关于共轭复数的常用结论(1)z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．2．已知复数z满足z·z＋2i·z＝4＋2i，求复数z.[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴x2＋y2－2y＝4，2x＝2，解得x＝1，y＝3或x＝1，y＝－1，∴z＝1＋3i或z＝1－i.虚数单位i的幂的周期性及其应用[探究问题]1．i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？[提示]1，i，－1，－i.2．in(n∈N)有几种不同的结果？[提示]四种：1，i，－1，－i.3．in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)结果是多少？[提示]0.【例3】(1)计算：－23＋i1＋23i＋21－i2020；(2)若复数z＝1＋i1－i，求1＋z＋z2＋…＋z2018的值．[思路探究]将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．[解](1)原式＝i1＋23i1＋23i＋21－i21010＝i＋2－2i1010＝i＋i1010＝i＋i4×252i2＝i－1.(2)1＋z＋z2＋…＋z2018＝1－z20191－z，而z＝1＋i1－i＝1＋i21－i1＋i＝2i2＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2018＝1－i20191－i＝1＋i1－i＝i.在本例(2)中，若z＝1－i1＋i，求1＋z＋z2＋…＋z2019的值．[解]∵z＝1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－2i2＝－i.∴1＋z＋z2＋…＋z2019＝1－z20201－z＝1－－i20201－－i＝1－i20201－－i＝1－11＋i＝0.1．要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．当堂达标固双基1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i[解析]设z＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i.根据复数相等的充要条件得a＋b＝0，b－a＝2，解得a＝－1，b＝1，∴z＝－1＋i.故选A.[答案]A2．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．[答案]B3．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝3－i1＋2i，则|z|＝()A．2B.3C.2D．1[解析]由z＝3－i1＋2i，得|z|＝|3－i||1＋2i|＝105＝2.[答案]C4．已知a为实数，a－i1＋i是纯虚数，则a＝________.[解析]a－i1＋i＝a－i1－i1＋i1－i＝a－1－a＋1i2，因为a－i1＋i是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.[答案]15．计算：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i.[解]法一：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i－3－2i2－3i2－3i2＋3i＝6＋13i－6－6＋13i＋64＋9＝26i13＝2i.法二：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝i2－3i2－3i－－i2＋3i2＋3i＝i＋i＝2i.