2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算 第2课时 复

第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算第2课时复数的乘方与除法学习目标核心素养1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立．(重点)2．理解复数商的定义，能够进行复数除法运算．(重点、难点)3．了解i幂的周期性．(易错点)通过复数的乘方与除法运算，提升数学运算素养.自主预习探新知1．复数的乘方与in(n∈N*)的周期性(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质设对任何z∈C及m，n∈N*，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝____，(z1z2)n＝zn1zn2.(2)虚数单位in(n∈N*)的周期性i4n＝__，i4n＋1＝__，i4n＋2＝____，i4n＋3＝____.znm1i－1－i2．复数的除法把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商，且x＋yi＝a＋bic＋di＝________________(c＋di≠0)．ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2iD[1＋i31－i2＝2i1＋i－2i＝－1－i，选D.]1.1＋i31－i2＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i0[1＋i1－i＝1＋i21－i1＋i＝2i2＝i，i3＝i2·i＝－i.∴原式＝i－i＝0.]2．复数1＋i1－i＋i3＝________.－1－2i[(2－i)÷i＝2－ii＝2－i－ii－i＝－1－2i.]3．(2－i)÷i＝________.合作探究提素养i的运算特征【例1】计算下列各式的值．(1)1＋i＋i2＋…＋i2014＋i2015；(2)1－1i2014＋(1－i)2014；(3)i2006＋(2＋2i)8－21－i50.[解](1)1＋i＋i2＋…＋i2014＋i2015＝1＋i＋i2＋i3＝0.(2)∵1－1i＝1＋i2i＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.∴1－1i2014＋(1－i)2014＝(1＋i)2014＋[(1－i)2]1007＝(2i)1007＋(－2i)1007＝0.(3)i2006＋(2＋2i)8－21－i50＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－21－i225＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.1．虚数单位i的性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．2．复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1i＝－i及乘方运算律简化运算．1．(1)已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i20141＋i，则复数z在复平面内对应的点为________．(2)i为虚数单位，复数z＝i2012＋i2015在复平面内对应的点位于第________象限．(1)(0,1)(2)四[(1)∵i＋i2＋i3＋i4＝0，∴z＝i＋i2＋i3＋…＋i20141＋i＝i＋i2i＋1＝i，对应的点为(0,1)．(2)i2012＝i503×4＝1，i2015＝i503×4＋3＝－i，∴复数z＝1－i在复平面上对应点为(1，－1)，位于第四象限．]复数的除法【例2】(1)1＋3i1－i＝________；(2)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝________；(3)i为虚数单位，1－i1＋i2＝________.[思路探究](1)直接利用除法法则计算；(2)转化为复数的除法计算；(3)先计算括号内的，再乘方运算．(1)－1＋2i(2)3＋4i(3)－1[(1)1＋3i1－i＝1＋3i1＋i1－i1＋i＝－2＋4i2＝－1＋2i.(2)由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝253＋4i3－4i3＋4i＝253＋4i25＝3＋4i.(3)∵1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－2i2＝－i，∴1－i1＋i2＝(－i)2＝－1.]1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)把除式写为分式．(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数．(3)对分子、分母分别进行乘法运算．(4)把运算结果化为复数的代数形式．2．解题时注意以下常用结论(1)1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，(1±i)2＝±2i.(2)in，(－i)n的值是以4为周期的一列值．(3)a＋bib－ai＝a＋biib－aii＝a＋biia＋bi＝i.(1)1＋i(2)1＋i[(1)21－i＝21＋i1－i1＋i＝1＋i.(2)2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝21－i2＋2i＝1＋i.]2．(1)i为虚数单位，复数21－i＝________；(2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝________.复数四则运算的综合应用[探究问题]1．复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？[提示]相同，先乘除，后加减．2．如何理解复数的除法运算法则？[提示]复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．【例3】计算：(1)i－231＋23i＋(5＋i)2－1＋i22；(2)2＋2i34＋5i5－4i1－i.[思路探究]解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．[解](1)i－231＋23i＋(5＋i)2－1＋i22＝1＋23ii1＋23i＋(25＋10i－1)－2i2＝i＋24＋10i－i＝24＋10i.(2)原式＝221＋i35－4ii5－4i1－i＝221＋i4i1－i1＋i＝22[1＋i2]2·i2＝2·(2i)2·i＝－42i.1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用(1)a＋bib－ai＝a＋biibi－ai2＝a＋biia＋bi＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化．(2)记住一些简单结论，如1i＝－i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，(1±i)2＝±2i等．(1)1(2)2＋3i[(1)i3＋2i1＋i＝－i＋2i1－i2＝－i＋i－i2＝1.(2)∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z＝52－i＋2i＝52＋i2－i2＋i＋2i＝10＋5i5＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.]3．(1)设i是虚数单位，复数i3＋2i1＋i＝________.(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝________.1．本节课重点是复数的乘方运算及除法运算，复数的除法即分子、分母同乘以分母的共轭复数．2．在乘方运算中，注意in的周期性，其周期为4.当堂达标固双基[答案](1)×(2)√(3)√(4)×1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两复数的商一定是虚数．()(2)i2005＝i.()(3)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减．()(4)若z∈C，则z2＝z2.()1[103－i＝103＋i3－i3＋i＝3＋i.]2．设i是虚数单位，复数103－i的虚部为________．4－3i[∵z1＝－2－3i，z2＝3－i2＋i2，∴z1z2＝－2－3i2＋i23－2i＝－i3－2i2＋i23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.]3．如果z1＝－2－3i，z2＝3－2i2＋i2，则z1z2＝________.4．计算1＋2i·i100＋1－i1＋i52－1＋i220.[解]1＋2i·i100＋1－i1＋i52－1＋i220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.