2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换章末复习课课件 新人教B版必修4

第三章三角恒等变换章末复习课给值求值问题给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．【例1】已知3π4απ，tanα＋1tanα＝－103.(1)求tanα的值；(2)求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2的值．[思路探究](1)结合α的取值范围，求解tanα的值；(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tanα的式子代入求值即可．[解](1)由tanα＋1tanα＝－103，得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13.又3π4απ，所以tanα＝－13.(2)原式＝5×1－cosα2＋4sinα＋11×1＋cosα2－8－2cosα＝5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16－22cosα＝4sinα＋3cosα－2cosα＝4tanα＋3－2＝－526.1．已知sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求cos(α＋β)的值．[解]∵0＜α＜π4＜β＜3π4，∴3π4＜3π4＋α＜π，－π2＜π4－β＜0.又sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，∴cos3π4＋α＝－1213.sinπ4－β＝－45.cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β＝sin3π4＋α－π4－β＝sin3π4＋αcosπ4－β－cos3π4＋αsinπ4－β＝513×35－－1213×－45＝－3365.三角函数式的化简与证明三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的．【例2】证明：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ.[思路探究]可从左边向右边证明，先把角由2θ向θ转化，再实现函数名称向tanθ转化．[解]左边＝sin2θ＋1－cos2θsin2θ＋1＋cos2θ＝2sinθcosθ＋2sin2θ2sinθcosθ＋2cos2θ＝sinθcosθ＋sinθcosθcosθ＋sinθ＝tanθ＝右边．2．求证：tan3x2－tanx2＝2sinxcosx＋cos2x.[证明]2sinxcosx＋cos2x＝2sin3x2－x2cos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tanx2.三角恒等变形的综合应用与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．【例3】已知向量a＝(1，－3)，b＝(sinx，cosx)，f(x)＝a·b.(1)若f(θ)＝0，求2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4的值；(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．[思路探究](1)可先由f(θ)＝0求tanθ，再化简2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4后，由tanθ值代入求值；(2)先化简成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再据x范围求ωx＋φ范围，进而求得f(x)的值域．[解](1)∵a＝(1，－3)，b＝(sinx，cosx)，∴f(x)＝a·b＝sinx－3cosx，∵f(θ)＝0，即sinθ－3cosθ＝0，∴tanθ＝3，∴2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1＝1－33＋1＝－2＋3.(2)f(x)＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，∵x∈[0，π]，∴x－π3∈－π3，2π3，当x－π3＝－π3，即x＝0时，取最小值－3，当x－π3＝π2，即x＝5π6时，取最大值2，∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－3，2]．3．已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(3，－1)，且m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．[解](1)由题意得m·n＝3sinA－cosA＝1，2sinA－π6＝1，sinA－π6＝12.由A为锐角得A－π6＝π6，A＝π3.(2)由(1)知cosA＝12，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－122＋32.因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝12时，f(x)有最大值32，当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域为－3，32.转化与化归的思想三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．【例4】已知sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tanα＋β2的值．[思路探究]先根据α－β2，α2－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由α＋β2＝α－β2－α2－β求解．[解]∵sinα－β2＝45，且α－β2为第二象限角，∴cosα－β2＝－1－sin2α－β2＝－35.又cosα2－β＝－1213，且α2－β为第三象限角，∴sinα2－β＝－1－cos2α2－β＝－513.∴tanα－β2＝－43，tanα2－β＝512，∴tanα＋β2＝tanα－β2－α2－β＝tanα－β2－tanα2－β1＋tanα－β2tanα2－β＝－43－5121－43×512＝－6316.4．已知sinα－cosα＝－55，α∈0，π4，sinβ－π4＝35，β∈π4，π2.(1)求sinα和cosα的值；(2)求cosα－β＋π4的值．[解](1)由题意得(sinα－cosα)2＝15，即1－sin2α＝15，∴sin2α＝45.又2α∈0，π2，∴cos2α＝1－sin22α＝35，∴cos2α＝1＋cos2α2＝45，∵α∈0，π4，∴cosα＝25＝255，sinα＝15＝55.(2)∵β∈π4，π2，β－π4∈0，π4，∴cosβ－π4＝45，cosα－β＋π4＝cosα－β－π4＝cosαcosβ－π4＋sinαsinβ－π4＝255×45＋55×35＝11525.