2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后课

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α的值为()A．－13B．－79C．13D．79解析cos2π3＋2α＝－cosπ3－2α＝－cos2π6－α＝－1－2sin2π6－α＝2sin2π6－α－1＝－79.2．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()A．－34B．34C．－43D．43解析∵sinα＋cosαsinα－cosα＝12，∴2sinα＋2cosα＝sinα－cosα，整理得sinα＝－3cosα，即sinαcosα＝－3＝tanα，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.故选B．3.2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α＝()A．tan2αB．tanαC．1D．12解析原式＝2sin2α2cos2α·cos2αcos2α＝tan2α.4．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析由sinBsinC＝cos2A2得sinBsinC＝1＋cosA2，∴2sinBsinC＝1＋cosA，∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，又∵－180°B－C180°，∴B－C＝0°，∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形．5．若△ABC的内角A满足sin2A＝23，则sinA＋cosA的值为()A．153B．－153C．53D．－53解析解法一：∵sin2A＝2sinAcosA＝23，∴1＋2sinAcosA＝53，即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝53.∴|sinA＋cosA|＝153.∵sin2A＝2sinAcosA＝230，且A为△ABC的内角，∴A为锐角，∴sinA＋cosA＝153，故选A．解法二：∵A为锐角，∴sinA＋cosA0.∴B，D不符合题意．若sinA＋cosA＝153，则(sinA＋cosA)2＝53＝1＋2sinAcosA＝1＋sin2A．∴sin2A＝23，满足题意，故选A．二、填空题6．已知α为第二象限的角，sinα＝35，则tan2α＝________.－247解析由sinα＝35，且α为第二象限的角得cosα＝－45，得tanα＝－34，tan2α＝－247.7．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．459解析设A是等腰三角形ABC的顶角，则cosB＝23，sinB＝1－cos2B＝1－232＝53.所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2×53×23＝459.8．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sinαcosα，tan(β－α)＝13，则β＝________.π4解析由1－cos2α＝sinαcosα，得1－(1－2sin2α)＝sinαcosα，即2sin2α＝sinαcosα.∵α为锐角，∴sinα≠0，∴2sinα＝cosα，即tanα＝12.解法一：由tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝tanβ－121＋12tanβ＝13，得tanβ＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.解法二：tanβ＝tan(β－α＋α)＝tanβ－α＋tanα1－tanβ－αtanα＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，点P12，cos2θ在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP→·OQ→＝－12.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．解(1)因为OP→·OQ→＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13.所以点P12，23，点Q13，－1.又点P12，23在角α的终边上，所以sinα＝45，cosα＝35.同理，sinβ＝－31010，cosβ＝1010，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝45×1010＋35×－31010＝－1010.10．已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0φπ)，其图象过点π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在0，π4上的最大值和最小值．解(1)因为f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0φπ)．所以f(x)＝12sin2xsinφ＋1＋cos2x2cosφ－12cosφ＝12sin2xsinφ＋12cos2xcosφ＝12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝12cos(2x－φ)．又函数图象过点π6，12，所以12＝12cos2×π6－φ，即cosπ3－φ＝1.又0φπ，所以φ＝π3.(2)由(1)知f(x)＝12cos2x－π3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝12cos4x－π3，因为x∈0，π4，所以4x∈[0，π]．因此4x－π3∈－π3，2π3.故－12≤cos4x－π3≤1.所以y＝g(x)在0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14.B级：能力提升练1．4cos50°－tan40°＝()A．2B．2＋32C．3D．22－1解析4cos50°－tan40°＝4cos50°－sin40°cos40°＝4cos50°cos40°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin60°＋20°－sin60°－20°cos40°＝32cos20°＋32sin20°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.故选C．2．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值．解(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，当sin2β＝－1时取得最大值，最大值为32，所以|b＋c|的最大值为42.